1.3 二项式定理（通用）教案范文

《广义的二项式定理》教案

泉州五中数学组

陈含烨

（一）教材分析：

本节课是A-level教材P3阶段的第一节的内容，是P1学习的二项式定理的拓展。以二项式定理作为基石能够架构起微积分的体系，其在初等数学中应用主要在于一些粗略的分析和估计以及证明恒等式等。

（二）教学目标：

1.学生在广义二项式定理的发现推导过程中，掌握广义二项式定理及展开式、成立条件，并能运用广义的二项式定理计算或证明一些简单的问题．

2.学生经历由nN的二项式定理拓展为nR的探究过程，体验“从特殊到一般发现规律，从一般到特殊指导实践”的思想方法，获得观察、猜想、归纳、类比、及证明的理性思维探究能力．

3.通过广义的二项展开式的探究，结合数学史，感悟数学概念的形成过程，培养学生积极主动、勇于探索、不断创新的精神，感受数学的内在美．

（三）学情分析：

学生已经学习了nN的二项式定理，能够完成简单的二项式展开，带乘式的二项式展开等问题。本节课学习广义的二项式定理是在原有基础上的一个拓展。高二学生在思维活跃，能够较易地进行联想和拓展，但是该部分证明对思维的严谨性要求较高，大部分学生习惯于使用公式，而非理解公式，对公式的形成重视度不足。

（四）教法策略分析：

遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则，采用“启发式教学法”，学生主要采用“探究式学习法”，

并利用多媒体辅助教学．

本课以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，完成二项式定理的探究，让学习过程成为学生的主动认知过程．

（五）教学过程：

1、创设情境，引入课题：

通过观看速算视频引入课题．提出问题是否101有速算的技巧？引导学生通过计算1.011.021.04等找规律进行猜测，得到1x(1x)1关联思考已学过的nN二项式定理知识：

121x2。

1xnn(n1)2n(n1)n23xx2!3!n(n1)n2Knr1r xr!

1nx

1是否也能使得二项展开式成立？

22、体验感知

探究归纳

①

探究一：将n拓展至任意实数时二项式定理的表达

猜想n1xnn(n1)2n(n1)n23xx2!3!n(n1)n2nr1r xr!

1nx强调：1.级数是无穷项的；

2.当nN时，x应当满足x1才能成立。

②

探究二：nN时是否可以作为广义二项式定理的特例？

考虑二项式系数的表达：

nn1n(n1)n2nn1n2n3

1, n, , ,

,2!3!4!

n

0

1

0

0

0

0

…

1

1

0

0

0

…

n1

1

2

1

0

0

…

n

2

1

3

3

1

0 …

n

3

…

n4 1 4 6 4 1

可以通过补足无穷个0使nN时的二项式展开式与nR时一致。

113学生练习n3及n时的二项式系数，写出1x和1x2二项展开式：

2

1x13x6x210x314x431x(1x)1

1211154xx2x3x

2816128③

探究三：为什么要求x1？

1x(1x)1以1211154xx2x3x2816128为例

使用Geogebra图形计算器做图，得到下图：

由图像可以直观感受到

3、知识建构

形成定理

得到广义的二项式定理：

x1。

1xn1nxn(n1)x2n(n1)n2x32!3!1.

当nN时，x可以取任意值；

2.

当nN时，x1。

4、巩固练习

提升能力

，

Example 7.1 Expand1x2as a sries of ascending powers of x

up to and including the term in x3

, stating the set of values of xfor which the expansion is valid.

(1x)212x3x24x3 when x1

Example 7.2 Find a quadratic approximation forthe expansion is valid.

1

and state for which values oft

12t12t5、回到引例

解决初问

12311tt2 when

t22

解决101的计算问题，先思考由先前所学的知识易模仿得到：

naxn这种形式的二项式如何计算？

xaxnan1a23xxnn1xnn1n2xn

1a1naa2!a3!a

强调x的取值发生了变化。

由此解决引例问题：

10110011211111222210010.0121010.010.012!2Example 7.3 Expand2x3as a sries of ascending powers of x

up to and including the term in x2

, stating the set of values of xfor which the expansion is valid. 2x332x1x34x3211382!2221332xx when

x281616

6、回顾反思

归纳总结

①

广义的二项式定理：

1xn1nxn(n1)x2n(n1)n2x32!3!1.当nN时，x可以取任意值；

，

2.当nN时，x1。

②

xaxnan1an23xnn1xnn1n2xxn

1a1na2!a3!aa

③

探究的过程：从特殊到一般，观察-归纳-类比-猜想-证明。

7、课后作业

思维延伸

1. p163

6,7 2. 阅读二项式定理发现的过程，尝试思考证明方法

（六）板书设计：

The Binomial EX7.1

EX7.2

axnxna1anTheorem

定理

注意点

n=-3,½二项式系数

EX7.3