1.3 二项式定理（通用）优质课教案整理

高中新课程数学（新课标人教A版）选修2-3《1．3．1二项式定理》

例1．已知(x124x)n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，

（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项 解：由题意：2Cn

∴Tr1Cr811121Cn()2，即n29n80，∴n8(n1舍去）

22163rrrr1rr8rC8(4)()C8x2x41rx4222xx8r1r0r8

rZ①若Tr1是常数项，则163r0，即163r0，

4163r为整数，

4∵rZ，这不可能，∴展开式中没有常数项；

②若Tr1是有理项，当且仅当∴0r8,rZ，∴

r0,4,8，

4即

展开式中有三项有理项，分别是：T1x，T53512x，T9x

8256例2．求0.998的近似值，使误差小于0.001．

01解：0.9986(10.002)6C6C6(0.002)16C6(0.002)6，

62展开式中第三项为C60.00220.00006，小于0.001，以后各项的绝对值更小，可忽略不计，

01∴0.9986(10.002)6C6C6(0.002)10.998，

一般地当a较小时(1a)1na

n课堂练习：

1.求2a3b的展开式的第3项. 2.求3b2a的展开式的第3项. 3.写出(3x66123x7)n的展开式的第r+1项. 4.求x2x3的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数. 5.用二项式定理展开：

1

（1）(a3b)5；（2）(x25). 2x5121246.化简：（1）(1x)(1x)；（2）(2x3xlgx7．xx5)(2x3x)12124 展开式中的第3项为1056，求x．

1 8．求x展开式的中间项

x2n2答案：1. T21C6(2a)62(3b)22160a4b2

22. T21C6(3b)62(2a)24860a2b4

n2r1r3r3nrr3. Tr1Cn(x)(

)Cnx32x21r3334.展开式的第4项的二项式系数C735，第4项的系数C72280

3255433225. （1）(a3b)a5a3b10ab10ab5ab3bbb；

（2）(x25125xxx)xxxx5x20402323. 2328xxxx6. （1）(1x)5(1x)5220x10x2；

（2）(2x3x)(2x3x)192xlgx7. xx1212412124432

x展开式中的第3项为Cx5232lgx5106x32lgx105

510

x10,x210002lg2x3lgx50lgx1,lgx1n8.

x展开式的中间项为(1)nC2n x9.

小结

：二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；二项式定理及通项公式的特点 教学反思：

ｎ (a+b) =

ｎ这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b)的 ，其2n中Cn（r=0,1,2,……,n）叫做 ， 叫做二项展开式r

2

的通项，它是展开式的第 项，展开式共有 个项. 掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。

培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力。教材的探求过程将归纳推理与演绎推理有机结合起来，是培养学生数学探究能力的极好载体，教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

二项式定理是指(ab)nn1n22nrranC1bC2bCrb

nananan22233223这样一个展开式的公式.它是(a+b)=a+2ab+b，(a+b)=a+3ab+3ab+b…等等展开Cnnb式的一般形式，在初等数学中它各章节的联系似乎不太多，而在高等数学中它是许多重要公nn－1式的共同基础，根据二项式定理的展开，才求得y=x的导数公式y′=nx，同时1lim(1)n=e≈2.718281…也正是由二项式定理的展开规律所确定，而e在高等数学中的nn地位更是举足轻重，概率中的正态分布，复变函数中的欧拉公式e=cosθ+isinθ，微分方程中二阶变系数方程及高阶常系数方程的解由e的指数形式来表达.且直接由e的定义建立的y=lnx的导数公式y=iθ11与积分公式=dxlnx+c是分析学中用的最多的公式之一.而由xxf(x0)fn(x0)2y=x的各阶导数为基础建立的泰勒公式；f(x)=f(x0)+(x－x0)+…(x－1!n!nf(n1)[x0(xx0)]x0)+(xx0)n1(θ∈(0，1))以及由此建立的幂级数理论，更是(n1)!n广泛深入到高等数学的各个分支中. 怎样使二项式定理的教学生动有趣

正因为二项式定理在初等数学中与其他内容联系较少，所以教材上教法就显得呆板，单4调，课本上先给出一个(a+b)用组合知识来求展开式的系数的例子.然后推广到一般形式，再用数学归纳法证明，因为证明写得很长，上课时的板书几乎占了整个黑板，所以课必然上得累赘，学生必然感到被动.那么多的算式学生看都不及细看，记也感到吃力，又怎能发挥主体作用？

怎样才能使得在这节课上学生获得主动？采用课前预习；自学辅导；还是学生讨论，或读，议、讲，练，或目标教学，还是设置发现情境？看来这些办法遇到真正困难时都会无能为力，因为这些方法都无法改变算式的冗长，证法的呆板，课堂上的新情境与学生的认知结构中的图式不协调的事实. 而MM教育方式即数学方法论的教育方式却能根据习题理论注意到充分利用数学方法与数学技术把所要证明或计算的形式变换得十分简洁，心理学家皮亚杰一再强调“认识起因于［1］主各体之间的相互作用”只有客体的形式与学生主体认知结构中的图式取得某种一致的时候，才能完成认识的主动建构，也就是学生获得真正的理解. ［2］MM教育方式遵循“兴趣与能力的同步发展规律”和“教，学，研互相促进的规律”在教学中追求简易，重视直观，并巧妙地在应用抽象使问题变得十分有趣，学生学得生动主动，充分发挥其课堂上的主体作用.

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