2.2.1 综合法和分析法教学目标设计

第五节

直接证明与间接证明

考点

直接证明与间接证明

高考试题

未单独考查

对直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的命题分析

方法，常与函数、数列、不等式、立体几何、解析几何等综合考查.

1．直接证明

直接证明中最基本的两种证明方法是综合法和分析法. (1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫作综合法．

综合法又称为：由因导果法(顺推证法)．

(2)分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫作分析法．

分析法又称为：执果索因法(逆推证法)．

2．间接证明

反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫作反证法．

提醒：

辨明两个易误点

(1)用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论．

(2)利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．

1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．(

) (2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(

) (3)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．

(

) (4)证明不等式2＋7＜3＋6最合适的方法是分析法．(

)

1 考查内容

核心素养

(5)用反证法证明结论“a＞b”时，应假设“a＜b”．(

) (6)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．(

) 答案：(1)×

(2)×

(3)√

(4)√

(5)×

(6)×

2．用分析法证明：欲使①A>B，只需②C

) A．充分条件

C．充要条件

B．必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选B

由题意可知，应有②⇒①，故①是②的必要条件．

3．命题“对于任意角θ，cos4

θ－sin4

θ＝cos 2θ”的证明：“cos4

θ－sin4

θ＝(cos2

θ－sin2

θ)(cos2

θ＋sin2

θ)＝cos2

θ－sin2

θ＝cos 2θ”过程应用了(

) A．分析法

C．综合法、分析法综合使用

B．综合法

D．间接证明法

解析：选B

结合推理及分析法和综合法的定义可知，B正确．

4．(教材习题改编)要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(

) A．2ab－1－ab≤0

a＋b2C．－1－a2b2≤0

222a4＋b4B．a＋b－1－≤0 222D．(a2－1)(b2－1)≥0 解析：选D

a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0. 5．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设(

) A．三个内角都不大于60°

B．三个内角都大于60°

C．三个内角至多有一个大于60°

D．三个内角至多有两个大于60°

解析：选B

因为“至少有一个”的反面是“一个也没有”，所以“三角形三个内角至少有一个不大于60°”的否定是“三角形三个内角一个也没有不大于60°”，即“三个内角都大于60°”．

分析法的应用

[明技法]

分析法证题的技巧

(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．

(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或

2

充分)的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，从而使原命题得证．

[提能力]

【典例】

已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c. 求证：113＋＝. a＋bb＋ca＋b＋c113证明：要证＋＝，

a＋bb＋ca＋b＋ca＋b＋ca＋b＋cca即证＋＝3也就是＋＝1，

a＋bb＋ca＋bb＋c只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，

需证c2＋a2＝ac＋b2，

又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，

由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos 60°，

即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．

于是原等式成立．

[刷好题]

已知a>0，求证：

证明：要证

只要证

11a2＋2－2≥a＋－2. aa11a2＋2－2≥a＋－2，

aa11a2＋2＋2≥a＋＋2. aa∵a>0，故只要证11a＋＋22，

a2＋2＋22≥aa1即a2＋2＋4a从而只要证2111a＋＋2，

a2＋2＋4≥a2＋2＋2＋22aaa11a＋，

a2＋2≥2aa111a2＋2≥2a2＋2＋2，即a2＋2≥2，

只要证4aaa而上述不等式显然成立，故原不等式成立．

综合法的应用

[明技法]

综合法证题的思路

3

[提能力]

【典例】

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Asin B＋sin Bsin C＋cos 2B＝1. (1)求证：a，b，c成等差数列；

2π(2)若∠C＝，求证：5a＝3b. 3证明：(1)由已知得sin Asin B＋sin Bsin C＝2sin2

B，

因为sin B≠0，所以sin A＋sin C＝2sin B，

由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列．

2π(2)由C＝，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，

3即有5ab－3b2＝0，所以5a＝3b. [刷好题]

11

(2018·聊城模拟)已知函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝a＋bx－x2＋x3，函数y＝f(x)与函数23y＝g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线．

(1)求a，b的值；

(2)证明：f(x)≤g(x)．

1(1)解：f′(x)＝，g′(x)＝b－x＋x2，

1＋xg0＝f0，由题意得

f′0＝g′0，

解得a＝0，b＝1. 11(2)证明：令h(x)＝f(x)－g(x)＝ln(x＋1)－x3＋x2－x(x＞－1)．

32－x312则h′(x)＝－x＋x－1＝. x＋1x＋1所以h(x)在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数．

4

故h(x)max＝h(0)＝0，h(x)≤h(0)＝0，即f(x)≤g(x)．

反证法的应用

[明技法]

用反证法证明命题的基本步骤

(1)反设，设要证明的结论的反面成立．

(2)归谬，从反设入手，通过推理得出与已知条件或公理、定理矛盾．

(3)否定反设，得出原命题结论成立．

[提能力]

【典例】

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．

(1)解：当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1. 又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，

11两式相减得an＋1＝an，所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，

221所以an＝n－1. 2(2)证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，

记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p

111则2·q＝p＋r，

222所以2·2rq＝2rp＋1.(*) －－又因为p

所以假设不成立，原命题得证．

[刷好题]

1已知x∈R，a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明a，b，c至少有一个不小于1. 2证明：假设a，b，c均小于1，

即a<1，b<1，c<1，

则有a＋b＋c<3，

11而a＋b＋c＝2x2－2x＋＋3＝2(x－)2＋3≥3，

22两者矛盾，所以假设不成立，

故a，b，c至少有一个不小于1.

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