1.3 二项式定理（通用）课时教学实录

二项式定理

教材分析

二项式定理是学生学了计数原理、排列与组合之后安排的。一方面证明二项式定理要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用，另一方面，二项式系数都是一些特殊的组合数，利用二项式定理可以得到关于组合数的一些恒等式，从而深化对组合数的认识，同时为后面学习随机变量及其分布做准备，它起着承前启后的作用。因此，二项式定理有着重要的地位。二项式定理的学习过程是应用两个计数原理解决问题的过程，采用合情推理，从特殊到一般，猜想出结果，在证明。教材先安排探究：用两个计数原理分析（a+b）²的展开式，随之用两个计数原理分析（a+b）³，（a+b）4的展开式，再归纳得出二项式定理。接着安排了两道例题，是二项式定理的简单应用。例1是求二项展开式，例2是求展开式中指定的项，达到会用二项式定理解决有关简单问题的目标

学情分析

学生刚学习了两个计数原理等知识，有了一定的认知基础；理解组合及组合数的概念，掌握了多项式乘法的运算法则，有一定的归纳猜想能力；学生有过探究、合作交流的课堂学习的尝试，为探究“用两个计数原理分析（a+b）²的展开式，概括出项数及其项的形式，今儿归纳得出二项式定理”打好了基础。但在具体学习中，对两个计数原理与（a+b）²的展开式中各项系数的联系还是有一定的困难。另外，在本节内容的学习中，学生对二项展开式中某项的系数与该项的二项式系数容易产生混淆。

教学目标（知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观）

（1）

知识技能：

1、

能根据组合思想及不完全归纳得出二项式定理和二项展开式的通项；

2、

能区分二项式系数和系数；

3、能利用二项式定理进行展开和求指定项

（2）

过程与方法：

通过师生共同探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识和知识迁移的能力，体会从特殊到一般的思维形式

（3）

情感、态度与价值观：

学会观察、比较和归纳，提高探究能力和合作意识，增强思维的严谨性，体会数学语言的简洁和严谨。

教学重难点

（1）

重点：

探究并归纳用计数原理分析（a+b）n 的展开式的形成过程，并依此方法得到二项式定理；

（2）

难点：

展开式中项的类型以及如何确定各项系数

教学过程

教学环节

教学活动

设计意图

问题1：（a1+a2）（b1+b2）（c1+c2）（d1+d2）展

开式有多少项？

问题2：（a+b）（a+b）（a+b）（a+b）展开式

让学生意识到这类问题一项项展开运算量过大，激发学生去寻找规律的积极性和探索欲望，培养学生的学习兴趣。

有哪些项？并写出它的展开式。

问题3：（a+b）的展开式是什么？

n

分析：

对于问题1，我们先根据之前所学知识确定

创设情境

它展开的项的形式，形如aibjckdq(i k j

q=1,2)，如a1b1c1d1,a2b1c1d1,它们都是由四个

字母组成的积，并且它们的次数都是4，我

们发现第一个字母来源于第一个括号，第

将学生觉得复杂陌生的问题归结为之前熟悉的模型，可以减轻学生的思维负担，同时提示学引入新课

二个字母来源于第二个括号，…，按照排

列组合的知识我们可以将其归结为模型

生可以用之前所学知识来解决新问题。

那么第一个空格只能填第一个括号中的字

母，即a1、a2中任取1个，有c12种选法，

…，以此类推，根据分布乘法原理，我们

知道共有2222=16项，那其中有没有

同类项要合并？没有，这个展开式就一共

有16项。

那我们是不是可以类比来解决问题2 呢？

如果我们一项一项地展开，应该也是有

16个式子相加，那么这里我们需不需要考

虑同类项？有同类项我们就还要合并同类

项。那我们先来确定展开式众都有哪些项。

如果四个格子都填a那这项就是a4，有3

个格子填a，1个填b就是ab，…，因而

展开式中有a4，

a3b ，a2b2，

ab3，

b4这5 项，下面我们来确定每一项的系数。

3

我们回到模型

问题探究

我们以填b的个数为基准

获得新知

a4

就是0个格子填b，有c4种填法，那对所用的思想方法a4的系数就是1 进行简单验证，可以让学生信服，并13cab

就是1个格子填b，有4种填法，那且对之前所学知识a3b的系数就是4 的本质有更深一层…

的理解，同时有利于学生接受新方法0432223344

(ab)4c4ac1abcabcabcb4444并运用它去解决问

题。

我们在解决问题3之前我们来简单验证一

下我们的想法是不是正确的。

比如：（a+b）²=（a+b）（a+b）它的展开式有哪些项？按照b的升幂排列，有a²，ab，b² 3项，它们的系数分别为c02

0cc12

22

，

因而

022222

(ab)2c2ac1abcba2abb22

这和我们之前学***方公式是相一致的。

有些同学记不清楚完全立方公式，那我们一

起用这个方法记一下。首先，（a+b）³展开式中有哪些项？（请学生回答）

我们一起来确定每一项的系数。

0312233(ab)3c3ac3abc3ab2c3ba33a2b3ab2b3

这样是不是很容易记了？

那现在我们就用这种思想方法来猜想一下问题3的答案。

n首先我们先来确定（a+b）的展开式中有哪些项？（请学生回答）而且这n+1项的次数都是n，下面我们再来确定每一项的系数，仿照之前的思路我们可以归结为n个格子的模型，以b的次数为出发点。

（请学生一起回答）

这样我们就得到了(ab)n的展开式：

从特殊到一般，从具体到抽象展示推理过程使学生更容易理解和掌握，同时能很好地培养学生的观察比较能力。

二项式定理

0nn12n22knkknn(ab)ncnac1b...cnab...cnb

nabcna这个公式也叫二项式定理，它的左边一共有n+1项（解释为何有n+1项）。其中各项系

kc数n（k=0,1,2,…,n）叫做二项式系数，式

子中cnaknkbk叫做二项展开式的通项，用

knk的探究过程

Tk+1表示。即通项为展开式中第k+1项。

Tk+1=cnabk（k=0,1,2,…,n）

老师适当补充使学生对二项式定理的规律和特点有个更清楚的认识，从而能更好的掌握二项式定理

（板书定义）

提醒学生注意：

（1）

展开式中有n+1项；

（2）

各项的次数都等于二项式的次数n；

（3）

字母a按降幂排列，次数由n递减到0,；字母b按升幂排列，次数由0递增到n；

（4）

系数c叫做二项式系数，这是仅与二项式的次数n有关的组合数，和a,b无关；

（5）

这里的字母a、b只是一种“符号”，只要具备二项式的形式，就可以用定理写出展开式；

knkk（6）

变形

(ab)n

TK1(1)kcnab

kn

定理应用

落实新知例1 ：展开(2x1)6．

x

例1是对二项式定解：(2x1)61理的简单应用，目xx3(2x1)6

的在于对定理字母a,b所表示的数或式的领会及运用定16x3[(2x)C16(2x)5C26(2x)4C336(2x)

理的能力；

　　　C2(2x)2C166(2x)1]

64x3192x2240x16060x121x2x3

例2（1）求(12x)7的展开式的第4项的系数；

例2（1）中补充问题，让学生彻底搞清楚指定项的系数（2）求(x19x)的展开式中x3的系数及二项和二项式系数的

式系数

区别。

让学生写出展开式中的通项

解：(12x)7的展开式的第四项是T333

31C7(2x)280x，

∴(12x)7的展开式的第四项的系数是280

．

补充问：第四项的二项式系数是多少？

提醒学生注意，一个二项展开式的某一项的二项式系数与这一项的系数是两个不同的概念。

(2)引导学生运用

1解方程的思想解（2）∵(xx)9的展开式的通项是题，并能顺理成章Tr9r(1r1C9xx)r(1)rCr9x92r，

的引入二项展开式∴92r3，r3，

通项，让学生意识∴x3的系数(1)3C33984，x的二项式到学习通项的重要性

系数C3984．