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2.绝对值不等式的解法1．理解绝对值的几何意义，掌握去绝对值的方法．(难点) 2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c；|x－a|＋|x－b|≤c.(重点) 3．能利用绝对值不等式解决实际问题．[基础·初探] 教材整理1绝对值不等
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1.不等式的基本性质第二课时教学实录
未知
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关键词：1.不等式的基本性质第二课时教学实录
正文
2.绝对值不等式的解法
1．理解绝对值的几何意义，掌握去绝对值的方法．(难点) 2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c；|x－a|＋|x－b|≤c.(重点) 3．能利用绝对值不等式解决实际问题．
[基础·初探] 教材整理1
绝对值不等式|x|
阅读教材P15～P15倒数第2行以上部分，完成下列问题．
不等式
|x|a a>0
{x|－a a＝0 ∅ a<0 ∅ R {x|x>a或x<－a} {x∈R|x≠0} 教材整理2 |ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 阅读教材P15～P17“探究”以上部分，完成下列问题． 1．|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c. 2．|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. 不等式|x＋1|＞3的解集是( ) A．{x|x＜－4或x＞2} C．{x|x＜－4或x≥2} B．{x|－4＜x＜2} D.{x|－4≤x＜2} 【解析】 由|x＋1|＞3，得x＋1＞3或x＋1＜－3，因此x＜－4或x＞2. 【答案】 A 教材整理3 |x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法 阅读教材P17～P19，完成下列问题． 1．利用绝对值不等式的几何意义求解． 2．利用零点分段法求解． 3．构造函数，利用函数的图象求解． 不等式|x＋1|＋|x＋2|＜5的解集为( ) A．(－3,2) C．(－4,1) B．(－1,3) 37D.－2，2 【解析】 |x＋1|＋|x＋2|表示数轴上一点到－2，－1两点的距离和，根据－2，－1之间的距离为1，可得到－2，－1距离和为5的点是－4,1.因此|x＋1|＋|x＋2|＜5解集是(－4,1)． 【答案】 C [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： [小组合作型] |ax＋b|≤c与|ax＋b|≥c型不等式的解法 求解下列不等式． (1)|3x－1|≤6；(2)3≤|x－2|＜4；(3)|5x－x2|＜6. 【精彩点拨】 关键是去绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式． 【自主解答】 (1)因为|3x－1|≤6⇔－6≤3x－1≤6， 57即－5≤3x≤7，从而得－3≤x≤3， 所以原不等式的解集是 5x－3 7≤x≤3. (2)∵3≤|x－2|＜4，∴3≤x－2＜4或－4＜x－2≤－3，即5≤x＜6或－2＜x≤－1. 所以原不等式的解集为{x|－2＜x≤－1或5≤x＜6}． (3)法一 由|5x－x2|＜6，得|x2－5x|＜6. ∴－6＜x2－5x＜6. 2x－5x＋6＞0，x－2x－3＞0，∴2∴ x－5x－6＜0，x－6x＋1＜0， x＜2或x＞3，即 －1＜x＜6.∴－1＜x＜2或3＜x＜6. ∴原不等式的解集为{x|－1＜x＜2或3＜x＜6}． 法二 作函数y＝x2－5x的图象，如右图所示． |x2－5x|＜6表示函数图象中直线y＝－6和直线y＝6之间相应部分的自变量的集合． 解方程x2－5x＝6，得x1＝－1，x2＝6. 解方程x2－5x＝－6，得x′1＝2，x′2＝3. 即得到不等式的解集是{x|－1＜x＜2或3＜x＜6}． 1．形如a＜|f(x)|＜b(b＞a＞0)型不等式的简单解法是利用等价转化法，即a＜|f(x)|＜b(0＜a＜b)⇔a＜f(x)＜b或－b＜f(x)＜－a. 2．形如|f(x)|＜a，|f(x)|＞a(a∈R)型不等式的简单解法是等价命题法，即 (1)当a＞0时，|f(x)|＜a⇔－a＜f(x)＜a. |f(x)|＞a⇔f(x)＞a或f(x)＜－a. (2)当a＝0时，|f(x)|＜a无解． |f(x)|＞a⇔|f(x)|≠0. (3)当a＜0时，|f(x)|＜a无解． |f(x)|＞a⇔f(x)有意义． [再练一题] 1．解不等式： (1)3＜|x＋2|≤4； (2)|5x－x2|≥6. 【解】 (1)∵3＜|x＋2|≤4，∴3＜x＋2≤4或－4≤x＋2＜－3，即1＜x≤2或－6≤x＜－5，所以原不等式的解集为{x|1＜x≤2或－6≤x＜－5}． (2)∵|5x－x2|≥6，∴5x－x2≥6或5x－x2≤－6，由5x－x2≥6，即x2－5x＋6≤0，∴2≤x≤3， 由5x－x2≤－6，即x2－5x－6≥0，∴x≥6或x≤－1， 所以原不等式的解集为{x|x≤－1或2≤x≤3或x≥6}． 含参数的绝对值不等式的综合问题 已知函数f(x)＝|x－a|. (1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值； (2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围． 求y＝fx＋fx＋5的最小【精彩点拨】 解fx≤3，由集合相等，求a→ 值，确定m的取值范围【自主解答】 (1)由f(x)≤3，得|x－a|≤3， 解得a－3≤x≤a＋3. 又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}， a－3＝－1，所以解得a＝2. a＋3＝5， (2)法一 由(1)知a＝2，此时f(x)＝|x－2|， 设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|， －2x－1，x<－3，于是g(x)＝5，－3≤x≤2，2x＋1，x>2. 利用g(x)的单调性，易知g(x)的最小值为5. 因此g(x)＝f(x)＋f(x＋5)≥m对x∈R恒成立， 知实数m的取值范围是(－∞，5]． 法二 当a＝2时，f(x)＝|x－2|. 设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|. 由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立)，得g(x)的最小值为5. 因此，若g(x)＝f(x)＋f(x＋5)≥m恒成立， 则实数m的取值范围是(－∞，5]． 1．第(2)问求解的关键是转化为求f(x)＋f(x＋5)的最小值，法一是运用分类讨论思想，利用函数的单调性；法二是利用绝对值不等式的性质(应注意等号成立的条件)． 2．将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，这是命题的新动向．解题时应强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活运用． [再练一题] 2．关于x的不等式lg(|x＋3|－|x－7|) (2)设函数f(x)＝lg(|x＋3|－|x－7|)，当m为何值时，f(x) 【解】 (1)当m＝1时，原不等式可变为0<|x＋3|－|x－7|<10，可得其解集为{x|2 (2)设t＝|x＋3|－|x－7|， 则由对数定义及绝对值的几何意义知0 因y＝lg x在(0，＋∞)上为增函数， 则lg t≤1，当t＝10，x≥7时，lg t＝1， 故只需m>1即可，即m>1时，f(x) [探究共研型] 含两个绝对值的不等式的解法 探究 怎样解|x－a|＋|x－b|≤c和|x－a|＋|x－b|≥c型不等式？ 【提示】 求解这类绝对值不等式，主要的方法有如下三种： (1)(几何法)利用绝对值的几何意义求解．只要找到使|x－a|＋|x－b|＝c成立的x值，依据“大于取两边，小于取中间”的法则写出不等式的解集即可． (2)(分段讨论法)分段讨论去掉绝对值符号，以a，b为分界点，将实数集分为三个区间，在每个区间上x－a，x－b的符号都是确定的，从而去掉绝对值符号． (3)(图象法)联系函数图象，通过分析函数值的取值范围得到不等式的解集． (1)解不等式|x＋2|＞|x－1|； (2)解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3. 【精彩点拨】 (1)可以两边平方求解，也可以讨论去绝对值符号求解，还可以用数轴上绝对值的几何意义来求解；(2)可以分类讨论求解，也可以借助数轴利用绝对值的几何意义求解，还可以左、右两边构建相应函数，画图象求解． 【自主解答】 (1)|x＋2|＞|x－1|，可化为(x＋2)2－(x－1)2＞0，即6x＋3＞0， 1解得x＞－2， 1x＞－∴|x＋2|＞|x－1|的解集为x2 . (2)如图，设数轴上与－1,1对应的点分别为A，B，那么A，B两点间的距离为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在A点左侧有一点A1到A，B两点的距离和为3，A1对应数轴上的x. 3所以－1－x＋1－x＝3，得x＝－2. 同理设B点右侧有一点B1到A，B两点的距离和为3，B1对应数轴上的x， 所以x－1＋x－(－1)＝3. 3所以x＝2. 从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之和都小于3；点A1的左边或点B1的右边的任何点到A，B的距离之和都大于3， 所以原不等式的解集是 33－∞，－，＋∞. ∪22 |x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况． [再练一题] 3．已知函数f(x)＝|x－8|－|x－4|. (1)作出函数f(x)的图象；(2)解不等式f(x)>2. 【解】 4，x≤4，(1)f(x)＝12－2x，4 函数的图象如图所示． (2)不等式|x－8|－|x－4|>2，即f(x)>2. 由－2x＋12＝2，得x＝5， 根据函数f(x)的图象可知， 原不等式的解集为 (－∞，5)． [构建·体系] —绝对值的几何意义—|ax＋b|≤c与|ax＋b|≥c型不等式绝对值不等式的解法——含两个绝对值的不等式的解法—含参数的绝对值不等式问题 1．不等式|x|·(1－2x)>0的解集是( ) 1A.－∞，2 1C.2，＋∞ 1B．(－∞，0)∪0，2 1D.0，2 x≠0，【解析】 原不等式等价于 1－2x>0，11解得x<2且x≠0，即x∈(－∞，0)∪0，2. 【答案】 B 2．不等式|x2－2|＜2的解集是( ) A．(－1,1) C．(－1,0)∪(0,1) B．(－2,2) D.(－2,0)∪(0,2) 【解析】 由|x2－2|＜2，得－2＜x2－2＜2，即0＜x2＜4，所以－2＜x＜0或0＜x＜2，故解集为(－2,0)∪(0,2)． 【答案】 D |x＋1|3．不等式≥1的实数解为________. |x＋2|【导学号：32750022】 【解析】 |x＋1|≥1⇔|x＋1|≥|x＋2|，且x＋2≠0. |x＋2|3∴x≤－2且x≠－2. 【答案】 3xx≤－2 且x≠－2 4．在实数范围内，不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6的解集为________． 11【解析】 不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6⇔x－2＋x＋2≤3，由绝对值的几何意义知(如图)， 3311当－2≤x≤2时，不等式x－2＋x＋2≤3成立． 33【答案】 －2，2 5．解关于x的不等式|2x－1|＜2m－1(m∈R)． 1【解】 若2m－1≤0，即m≤2，则|2x－1|＜2m－1恒不成立，此时，原不等式无解； 1若2m－1＞0，即m＞2， 则－(2m－1)＜2x－1＜2m－1，所以1－m＜x＜m. 综上所述： 1当m≤2时，原不等式的解集为∅， 1当m＞2时，原不等式的解集为{x|1－m＜x＜m}． 我还有这些不足： (1) (2) 我的课下提升方案： (1) (2)
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5ygggwenku_147853
来自：学校：石家庄市栾城区艺术职业学校
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