阅读与思考 九连环教案和学案内容

《等差数列的前n项和第一课时》教学设计

开化县华埠中学 丰三忠

一

教材分析

本节课教学内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学（5）》（人教A版）中第二章的第三节“等差数列的前n项和”（第一课时）．本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用．在教学中应注意以下两点：

1．本节课重点是等差数列的前n项和公式的推到和应用．学习中可能遇到的困难是获得推导公式的思路，克服困难的关键是通过具体例子发现一般规律．

2．本节课首先通过高斯算法,发现等差数列任意的第k项与倒数第n+1-k项的和等于首项、末项的和，从而得出求和的一般思路．

等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题．同时，求数列前n项和也是数列研究的基本问题，通过对公式推导，可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法．

二

学生情况分析

在本节课之前学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质，也对高斯算法有所了解，这都为倒序相加法的教学提供了基础；同时学生已有了函数知识，因此在教学中可适当渗透函数思想．高斯的算法与一般的等差数列求和还有一定的距离，如何从首尾配对法引出倒序相加法，这是学生学习的障碍．

三

教法分析

建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动地建构知识的过程，因此，应该让学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展，让学生利用自己的原有认知结构中相关的知识与经验，自主地在教师的引导下促进对新知识的建构．在教学过程中，根据教学内容，从介绍高斯的算法开始，探究这种方法如何推广到一般等差数列的前n项和的求法．通过设计一些从简单到复杂，从特殊到一般的问题，层层铺垫，组织和启发学生获得公式的推导思路，并且充分引导学生展开自主、合作、探究学习，通过生生互动和师生互动等形式，让学生在问题解决中学

会思考、学会学习．同时根据本班学生的特点，为了促进成绩优秀学生的发展，还设计了选做题和探索题，进一步培养优秀生用函数观点分析问题、解决问题的能力，达到了分层教学的目的．

四

教学目标分析

1、知识目标

（1）掌握等差数列前n项和公式,理解公式的推导方法；

（2）能较熟练应用等差数列前n项和公式求和．

2、能力目标

经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力．

3、情感、态度、价值观目标

通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功．

五

教学重点和难点

教学重点是探索并掌握等差数列前n项和公式，学会用公式解决一些实际问题；

教学难点是等差数列前n项和公式推导思路的获得．

六

教学过程

（一）

创设情境

引入新课

公元五世纪，中国古算书《张邱建算经》卷中有一道题：今有与人钱，初一人与一钱，次一人与二钱，次一人与三钱，以次与之，转多一钱，共有百人，问共与几钱？

师：题目当中我们可以得到哪些信息？要解决的问题是什么？

生1：S100=1+2+3+...+98+99+100=？

师：你能求出这个式子的值吗？ 生2：（犹豫片刻） 1+100=101，2+99=101，3+98=101…50+51=101，

所求的和为101×100=5050 . 2师：张邱建和你们的算法一样。过了一千二百多年，德国数学王子高斯在他十岁时也是这样巧妙求和计算的。请问我国的张邱建和德国的高斯对于“等差数列1，2，3，...，98，99，100的前100项和”的算法妙在哪里？

生3：用“首尾配对相加法”( 高斯算法）求等差数列1,2,3，...,100的前100项和。

设计意图：通过情景引入活动、任务，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用得过程，其作用就在于提升学生的经验，使之连续地向形式的、抽象的数学知识的转变.构筑在学生已有生活经验与生命体验基础之上的数学课程大大激发了学生“做数学”的热情，数学课变得更生动、更活泼，更能引发学生的兴趣.新教材中增添了一些数学史的知识，从课改的一些举措上我感到在数学教学过程中，应适时掀起数学史的教学盖头。向同学们介绍了《张邱建算经》和高斯及他的算法，讲课的过程中适当插入数学史，为数学教学输入了新鲜血液.培养学生的数学文化，营造浓郁的“人文”氛围. （二）

新课探究

探究1 如何计算：1+2+3+...+49+50+51=? 设计意图：通过小组合作学习，引导学生优化使用高斯算法，即(1234950)51(150)(249)(2526)51，培养学生的转化与化归的数学思想。 探究2 如何计算：1+2+3+...+(n-2)+(n-1)+n=? 小组合作汇报：

n分奇偶性讨论，n为偶数时正好分成组，n为奇数时分成项

n2n1组还多一2∴当n为偶数时，Sn(a1an)(a2an1)…(anan)

122n(a1an) =

2当n为奇数时，Sn(a1an)(a2an1)…(an1an1)an1

21222(aa) (a1an)(a2an1)…(an1an1)1n

2222

= n(a1an)

2师：好通过分类讨论我们得出了等差数列an的前n项和Sn公式，从所得的结果看无论n是奇数还是偶数Sn的公式一样.那么我们是否可以避开讨论n的奇偶性去推导呢？怎样出现首末两项的和？

生：一片茫然

师：在三角形图案的右侧倒放一个全等的三角形，与原图补成平行四边形。你们从中受到什么启发？

学生：我们知道怎么做了。

S100123(n2)(n1)n

S100n(n1)(n2)321

两式相加的：2S100(n1)(n1)(n1)(n1)n(n1)

n(n1)所以S100

2师：太妙了！这种方法叫做倒序相加法。

设计意图：通过新旧方法认知冲突，利用图形启发让学生获取倒序相加法，借助几何图形的直观性，使学生的思路豁然开朗，实现了难点的有效突破。

探究3 一般等差数列的前n项和公式推到

师：你能用刚刚所学的“倒序相加求和法”研究一般的等差数列的前n项和吗？

生：Sna1a2…an

Snanan1…a1

将上面两式左右两边分别相加得2Sn(a1an)(a2an1)…(ana1)

=n(a1an)

n(a1an)∴Sn

2师：这就是等差数列的前n项和公式，知道首项和尾项，就可以求前n项和。

n(n1)d，知道首项和公师：把ana1(n1)d代入上述公式得Snna12差就可以求前n项和。

师(总结) ：我们得到了两个计算等差数列前n项和的公式.由公式可知，只要知道a1,n,an,d

这四个量中的三个就可以求出等差数列前n项和Sn. 设计意图：新课标指出“学生的学习过程就是在教师指导下的再创造的过程”在教学的过程中，教师要指导学法，把教与学的过程很好地统一起来，想方法鼓励学生积极参与，大胆设疑、质疑、释疑、辨错、修正，突出过程教学.教师同通过问题情境或学习情境以诱发他们进行探索与问题的解决活动. （三）应用举例

例1 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施

“校校通”工程的通知》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？

设计意图：培养学生的数学核心素养之一即数学建模，建立数学模型解决实际问题。学以致用,直接运用公式加深对公式的认识和理解，注意解题格式和规范. 2aaSa例2 设等差数列n的前n项的和是n，若123，且S510，求a3和Sn.

设计意图：结合等差数列的通项公式和求和公式，对于五个量a1,d,an,n,Sn，知道其中三个就可以求余下两个。学以致用,直接运用公式加深对公式的认识和

理解.主要通过方程或方程组的思想进行基本量的运算.注意解题格式和规范。

（四) 课堂练习

1.求等差数列2,4,6,8,,200的所有项的和。

2.设等差数列an的前n项的和是Sn，若a47，则S7_____.

3.设等差数列an的前n项的和是Sn，若S84a3，且a52，则（1）a9____；.

（2）Sn__________(五）课堂小结

1.这节课我们学到了那些知识？

2.你觉得这节课最难的知识或方法是什么？

3.两个数学故事对我们有什么启发？

（六）课外作业

课本第46页A组题的2,3,4. （七）教学后记

新数学课程标准中明确提出“数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分”

、“要体现数学的文化价值”等，将数学史有机地融入到课堂教学中，不仅不会影响学生的学习，相反却会激发学生热爱数学的热情，起到正面推动作用，提升数学教育成效.这也是贯彻德育、提倡人文精神的重要组成部分.由具体的问题情境激发学生的学习兴趣. 等差数列前n项和公式的推导由教师引导学生自主探索,由于数学的严谨性和学生认知的不完备性是一个矛盾，因此公式的发现过程是一个不断修改、不断完善、逐步发现的过程.引导学生积极参与结论的探索、发现、推导的过程,并弄清楚每个结论的因果关系,要适当延迟判断,多让学生想一想、议一议、说一说,重视思路分析的训练．须知教师讲课的最精彩之处,不是自己分析的头头是道,而是引导学生探求解题思路最后再引导学生归纳引出结论．通过例题的讲解和练习的训帮助学生掌握和记忆公式,例题的变式训练加大课堂教学的研究性、开放性和自主性，在开展探究活动中培养学生的基本技能.