1.3 二项式定理（通用）教案及板书设计

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质(1) 【学习目标】

1.了解杨辉三角各行数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质间的关系，培养学生的观察力和归纳推理能力；2．理解和掌握二项式系数的性质，并会简单应用；3．理解和初步掌握赋值法.

【能力目标】

能识别和计算两个系数,并会利用不等式求最大值.

【重点难点】

体会用函数知识研究问题的方法，理解二项式系数的性质，结合函数图象，理解增减性与最大值时，根据n的奇偶性确定相应的分界点；利用赋值法证明二项式系数的性质

【学法指导】

二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段.

【学习过程】

一.【课前预习】

阅读教材P32-P35, 二．【课堂学习与研讨】

二项定理:一般地,对于nN有

0n1n12n22aCnabCnab(ab)nCnrnrrCnabn1nnCnabn1Cnb

*二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个? 下面我们研究二项式系数有些什么性质？我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点? 杨辉三角

1．“杨辉三角”的

历及规律 (ab)n展开式中的二项式系数，如下表所示： 1

(ab)1 1 1 C10C1012C2C2

(ab)2 1 2 1 C2123C3C3

(ab)3 1 3 3 1 C30C3012344(ab) 1 4 6 4 1 C4C4C4C4C4

12345C5C5C5C5

(ab)5 1 5 10 10 5 1 C50C5013456C6C6C6

(ab)6 1 6 15 20 15 6 1 C6C6C62C6

…………

……

……

012CnCn(ab)n

……………………………… CnCnrCnn1Cnn

二项式系数的性质: 012,Cn,Cn,(ab)n展开式的二项式系数依次是Cnr,Cnr,,Cnn1,Cnn

从函数角度看，Cn可看成是以r为自变量的函数f(r) ,其定义域是：{0,1,2,第

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,n}

当n6时，其图象是右图中的7个孤立点

（1）对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等；

这一性质可直接由公式CnCn（2）增减性与最大值 k由于：Cnmnm得到，图象的对称轴rn

2n(n1)(n2)(nk1)k1nk1，

Cnk(k1)!kk1nk1决定。

knk1n1n11k由知，当k时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知k22所以Cn相对于Cn的增减情况由k它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。

因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数C取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系数Cn12，nn2nCn12相等，且同时取得最大值；

n(3)各二项式系数的和

在二项式定理中，令ab1，则：CnCnCn012Cnn2n，这就是说，(ab)n的0n展开式的各二项式系数的和等于2。同时由于Cn，上式还可以写成：12CnCnnCn2n1，这是组合总数公式。

n一般地，(ab)展开式的二项式系数Cn,Cn,Cn,mnmmm1mCnCn，CnCnCn1，当r012CnCnCn20012,Cnn有如下性质：

n1n1rr1rr1时，CnCn，当r时，CnCn，

22mm1CmrCmr。

mmmCnn2n，CmCm1Cm2例.在(3x2y)中，求：

（1）二项式系数最大的项；

（2）系数绝对值最大的项；

解:

（1）二项式系数最大的项是第11项，为T11C203111011(2)10x10y10C20610x10y10．

（2）设系数绝对值最大的项是第k1项，

又Tk1C20(3x)k20kk20k(2y)kC203(2)kx20kyk，依题意得

k20kkk119kk1C2032C2032于是k20kk

k121kk1C32C322020第

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3(k1)2(20k)化简得，

2(21k)3k解得722k8.

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因为k为整数，所以k8，

即T9C2032xy是系数绝对值最大的项．

三．【课堂检测】

1.已知C15a，C15b，那么C16 。(用a,b表示) 解: C16C16C15C15ba

2.(ab)的展开式中，二项式系数的最大值是 。

解:当n为奇数时，中间两项的二项式系数C相等且最大,是126. 3.若(ab)得展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则n 。

解:即Cn,Cn相等且最大,则n19. 4.(xy)的展开式中，系数绝对值最大的项是（D）

A第4项 5.若(x37nn1n12，n2相等，且同时取得最大值,所以n81281285910106659C5C94,C9910B第4、5项

C第5项 D第3、4项

1n)展开式中第6项的系数最大，则不含x的项等于（A）

2xA210

B120

C461

D416

四．【课堂小结】

二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段.

【课外作业】

1．思考判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列. （ ）

（2）二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项是相同的. （ ）

（3）二项展开式的二项式系数和为CnCn解:

（1）对，由杨辉三角观察可知结论正确. 第

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12rCnnCn. （ ）

（2）错，二项式展开式中系数与二项式系数是不同的两个概念，所以最大项也不相同. （3）错，二项展开式的二项式系数和为CnCnCn[答案]

（1）√（2）×（3）×

2．关于(ab)10的说法，错误的是

(

) A．展开式中的二项式系数之和为1 024 B．展开式中第6项的二项式系数最大

C．展开式中第5项或第7项的二项式系数最大

D．展开式中第6项的系数最小

解:根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为2n，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数，所以是系数中最小的．

[答案]C 3．(1x)的展开式中系数最小的项为

(

) A．第九项

B．第八项

C．第七项

D．第六项

解:展开式中共有14项，中间两项（第七、八项）的二项式系数最大．由于二项展开式中二项式的系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数．故系数最小的项为第八项，系数最大的项为第七项．

[答案]B 4．在(1x)(nN)的二项展开式中，若只有x的系数最大，则n

（

）

A．8

B．9

C．10

D．11 解:由题意(1x)展开式中，

x的系数就是第6项的二项式系数，因为只有它是二项式系数中最大的，所以n10.

5．(2x1)展开式中各项系数的和为________；各项的二项式系数和为________．

解:令展开式左、右两边x1，得各项系数和为1；各二项式系数之和为：264.

[答案] 1

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6.

①P37页第4题

②(12x)的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．

解:T6Cn(2x)，T7Cn(2x)，依题意有Cn2Cn2，解得n8.

所以(12x)的展开式中，二项式系数最大的项为T5C8(2x)1120x.

nn6nn*13012CnrnCn.

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C8k2kC8k12k1设第k＋1项系数最大，则有kk，

k1k1C2C288解得5k6.

又因为k{0,1,2,,8}．

所以k5或k6.

所以系数最大的项为T61792x，T71792x.

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