复习参考题教学设计方案

基本不等式习题课教案

教学目的

1.理解基本不等式，对基本不等式的常见变式及有关结论能自己证明

2归纳用基本不等式的常见变式及有关结论的解题方法，能灵活运用基本不等式解决相关问题

教学重点

基本不等式的应用

教学难点

满足基本不等式求最值的相关条件易混淆

课型：复习课

教学设计

一

知识复习

a＋b1．基本不等式：对任意a、b∈_R_，有≥ab成立，当且仅当a＝b时取等号．

2(1)x、y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，那么当x＝y时，x＋y有最_小__值2P. S2(2)x、y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，那么当x＝y时，xy有最__大__值. 42．基本不等式的常见变式及有关结论

12a2b2ab2ab(a0,b0)，等号当且仅当a＝b时成立．

1122ab222a＋b(2)a＋b2ab(a、b∈R)；ab_(a、b∈R) 2a＋baba＋b(a、b∈R)；ab(a、b∈R) 222222aba＋b2(a、b∈R)，以上各等号当且仅当a＝b时成立．

2请学生自己作答,复习旧知. 二．由一个题引出的思考

思考：若x、y∈R，且x＋y－xy＝0.求x+y的最小值．

设计此题的目的：有三种基本解法，可以通过让学生分组讨论，然后分三组同学分别对其所想到的一种解法进行讲解，并对下面的三类题型进行变式练习，通过让学生自己动手，讨论，得出每种类型解法的特点，并学习另外两组同学的解法，发挥集体的智慧，让人人都能做，人人都会做。

(一）利用基本不等式求最值

41. 若x>1，则x＋的最小值为________．

x－1＋222

44解析：∵x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5. x－1x－14 当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．

x－14变式：若x>1，则x＋在x＝a处取最小值，则a＝__3______．

x－1x2－4x＋1

2．已知x>0，则y＝的最小值为________．

xx24x111解：x0yx42x42xxx

1当且仅当x即x1时ymin2xx2－4x＋1

变式1：已知x≥2，则y＝的最小值为________．

x13变式1：在x2时，yx单调递增，当x2时，ymin

x2x2－4x＋1

变式2：已知x＜0，则y＝的最大值为________．

x11变式2：x0yx42x46xx

1当且仅当x即x1时ymax6x

3 当x>0,则f(x)2x的最大值__________ 2x1解：f(x)2x1x22x1x211，当且仅当x即x1时ymax1

2xxAx2BxC

4.总结形如y或y的一类的值域或最值的求法

Ax2BxCx

利用基本不等式求最值的关键在于变形创设“一正二定三相等”这一条件．常见的变形的方法有：变符号、凑系数、拆项、添项、分子分母同除等方法.

11冲关挑战：设a>b>0，则a2＋＋的最小值是(

) abaa－bA．1

B．2

C．3

D．4 解析：∵a>b>0，∴ab>0，a－b>0，

1∴a2＋＋aba1

a－b

1＝a2－ab＋ab＋＋aba＝[a(a－b)＋11

a－b1]＋(ab＋)≥2＋2＝4. aa－babaa－b＝a等号成立时，应有1ab＝ab，∴a＝2，b＝2. 21，a－b

点评：应用基本不等式求两个式子最值的和时，等号必须同时成立．

（二）“1”的技巧

281．已知＋＝1(x>0，y>0)，则x＋y的最小值为(

) xyA．12

B．14

C．16

D．18 28解

x＋y＝(x＋y)(＋) xy2y8x＝2＋8＋＋

xy≥10＋22y8x·＝18. xy当且仅当x＝6，y＝12时取等号．故选D. 142.已知a>0，b>0，a＋b＝1，则y＝＋的最小值是________ ab14b4ab4a解：ab1,y()(ab)5529

ababab当且仅当b4a21即a,b时，等号成立。此时ymin9

ab3314变式：已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(

) ab97A.

B．4 C. D．5 22a＋b解：∵a＋b＝2，∴＝1. 21414a＋b＋∴＋＝

abab252ab5＋≥＋2 ＝＋2b2a22ab·

b2a

92ab＝(当且仅当＝，即b＝2a时，“＝”成立)．

2b2a149故y＝＋的最小值为. ab2

a2b2冲关挑战：设0

) x1－xA．(a－b)2

B．(a＋b)2

C．a2b2

D．a2

a2b2a2b2解:

＋＝(＋)[x＋(1－x)] x1－xx1－xa2＝a＋b＋221－xb2x＋

x1－xa21－xb2x·＝(a＋b)2，

x1－x≥a＋b＋2a2当且仅当221－xb2x＝时取等号．

x1－x点评

抓住x＋(1－x)＝1,00是解题的关键．

（三）解不等式求最值

变式：若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．

解析：xy＝2x＋y＋6≥22xy＋6，令xy＝t2，可得t2－22t－6≥0，

注意到t>0，解得t≥3 2. 2x＝y，当且仅当即x＝3，y＝6时等号成立，故xy的

2x＋y＋6＝xy，

最小值为18. 思考：1.还有其他方法求解吗？

2.若条件不变，求x+y的最小值？

冲关练习：若实数x、y满足x＋y＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．

解：

由x2＋y2＋xy＝1，得1＝(x＋y)2－xy，

∴(x＋y)＝1＋xy≤1＋解得－2323≤x＋y≤. 33323时x＋y取最大值为.

33222x＋y42.

当且仅当x＝y＝

评：(1)求条件最值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为点

一元函数，代入法是最基本的方法，代换过程中应密切关注字母隐含的取值范围．

(2)利用已知条件构造不等式，然后通过解不等式求得表达式的取值范围，从而得到最值也是部分问题中采用的方法.

三.

利用基本不等式解决恒成立问题

自我挑战：

1.若对任意x0，

2. 已知x0,y0,xyxy,若xym2恒成立，则实数

m的最大值是多少？

四．总结反思

1．利用基本不等式求最值需注意的问题

(1)各数(或式)均为正；

(2)和或积其中之一为定值；

(3)等号能否成立，

即“一正二定三相等”，这三个条件缺一不可．

注意:(1)要特别注意不等式成立的条件及等号成立的条件．

(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．

2. 本节课不仅学了用基本不等式求最值的方法，你还有什么收获？

xa恒成立，则a的取值范围是多少？

2x3x1