阅读与思考 海伦和秦九韶优质教案设计

正余弦定理的综合运用(教案)

沫若中学

王燕

1.教学内容：正余弦定理的综合运用。

2.地位作用：

①高考考纲要求：掌握正余弦定理，并能够运用正余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。②高考考查趋势：斜三角形的边角关系以选择题或填空题给出一小题或难度较小的解答题。

3.学习目标: （1）、进一步熟悉正余弦定理内容，并能运用定理解决一些简单的与三角形有关的综合问题。

（2）、通过正余弦定理综合运用的学习，提高解决实际问题的能力，进一步体会转化化归、方程、整体代换、分类讨论的数学思想。

（3）、通过一题多解、一题多变的训练，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功。

4．教学重点和难点：

（1）教学重点：利用正余弦定理进行边角互换。

（2）教学难点：利用正余弦定理进行边角互换时的转化方向。

5．教学方法：探析归纳，讲练结合

6.知识回顾

定理正弦定理余弦定理内容

定理变形形式正弦定理余弦定理①a＝，b＝，c＝；cosA=ab②sinA＝，sinB＝，2R2RcosB＝csinC＝；2R(其中R是△ABC外接圆半径)cosC＝③a∶b∶c＝④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA.第

1 页

共

4 页

;；.

7.课堂延伸：

在ABC中，bcosAacosB,则ABC的形状为（

）

A

直角三角形

B

锐角三角形

C

等腰三角形

D

等边三角形

总结： 变式1：ABC中，若(accosB)sinB(bccosA)sinA,判断ABC的形状。

总结：

变式2：ABC中，若bcosC(2ac)cosB,(1)求角B;(2)若c2,b3,求ABC的面积。

总结：

8.总结与反馈：

练习：

1.ABC中，若acosB,试判断ABC的形状。bcosA

2.ABC中，若2bcosBacosCccosA,则B———

3.ABC中，若b(12cosA)2acosB(1).证明：b2c;

(2)若a1,tanA22,求ABC的面积。4.ABC中，若2cosC(acosBbcosA)c

33(1)求C;(2)若c7,ABC的面积为，求ABC的周长。2

第

2 页

共

4 页

余弦定理的5种证明方法

一、余弦定理

余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在ABC中,已知ABc,BCa,CAb,则有

a2b2c22bccosA, b2c2a22cacosB, c2a2b22abcosC. 二、定理证明

为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可: 在ABC中,已知ABc,ACb,及角A,求证:a2b2c22bccosA. 证法一:如图1,在ABC中,由CBABAC可得: CBCB(ABAC)(ABAC)

ABAC2ABACb2c22bccosA

即,a2b2c22bccosA. 证法二:本方法要注意对A进行讨论.

A22CB图1(1)当A是直角时,由b2c22bccosAb2c22bccos90b2c2a2知结论成立.

(2)当A是锐角时,如图2-1,过点C作CDAB,交AB于点D,则在RtACD中,ADbcosA,CDbsinA. 从而,BDABADcbcosA. 在RtBCD中,由勾股定理可得: C BC2BD2CD2 (cbcosA)2(bsinA)2

c22cbcosAb2

即,a2b2c22bccosA. 说明:图2-1中只对B是锐角时符合,而B还可以是直角或钝角.若B是直角,图中的点D就与点B重合；若B是钝角,图中的点D就在AB的延长线上. AD图2-1B(3)当A是钝角时,如图2-2,过点C作CDAB,交BA延长线于点D,则

在RtACD中,ADbcos(A)bcosA,CDbsin(A)bsinA. 从而,BDABADcbcosA. 在RtBCD中,由勾股定理可得: BC2BD2CD2

(cbcosA)2(bsinA)2

c22cbcosAb2

C即,a2b2c22bccosA. 第

3 页

共

4 页

DA图2-2B

综上(1),(2),(3)可知,均有a2b2c22bccosA成立. 证法三:过点A作ADBC,交BC于点D,则

在RtABD中,sinBD,cosAD. cCDc在RtACD中,sinCD,cosAD. bbβαA图3B由cosAcos()coscossinsin可得: cosAADADBDCDADBDCD

cbcbbc22AD22BDCD

2bcc2BD2b2CD22BDCD

2bcb2c2(BDCD)2b2c2a2

2bc2bc整理可得a2b2c22bccosA. 证法四:在ABC中,由正弦定理可得abcc. sinAsinBsinCsin(AB)从而有bsinAasinB,………………………………………………………………①

csinAasin(AB)asinAcosBacosAsinB. …………………………②

将①带入②,整理可得acosBcbcosA.…………………………………………③

将①,③平方相加可得a2(cbcosA)2(bsinA)2b2c22bccosA. 即,a2b2c22bccosA. 证法五:建立平面直角坐标系(如图4),则由题意可得点A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA),再由两点间距离公式可得a2(cbcosA)2(bsinA)2c22cbcosAb2. A(O)图4BxyC即,a2b2c22bccosA. 余弦定理的证明方法还有很多,比如可以用物理方法证明、可以构造相似三角形证明、可以利用图形面积证明等.感兴趣的读者可以到图书馆或互联网中进行查询. 第

4 页

共

4 页