小结优秀教案内容

数系的扩充与复数的引入章末小结

教学目标：知识与技能：回顾有关复数的概念，复数及其模的的几何意义，复数运算法则，并用所学知识解决一些相关的问题。

能力与方法：运用所学知识解决相关问题。

情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

教学重点：复数的相关知识及运用复数的知识解决相关数学问题。

教学难点：运用复数的知识解决相关数学问题

教

法：启发、诱导发现教学

学 法：探究、讨论、交流

教学准备：多媒体

教学过程

一、知识结构

说明：知识网络建构的设计目的在于让学生对本章知识有个总结体的把握。

二、知识梳理

（一）复数的概念

1．虚数单位：(1) ；(2)和实数在一起，服从实数的运算律．

2．代数形式：a＋bi(a、b∈R)，其中a叫实部，b叫虚部．

3．复数的分类

复数z＝a＋bi(a、b∈R)中，

z是实数⇔b＝0，z是虚数⇔b≠0

a＝0z是纯虚数⇔. b≠04．a＋bi与a－bi(a、b∈R)互为共轭复数

（二）复数相等的条件

a＋bi＝c＋di(a、b、c、d∈R)⇔a＝c且b＝d. 特别a＋bi＝0(a、b∈R)⇔a＝0且b＝0. （三）复平面

建立直角坐标系表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．原点对应复数0，建立复平面后，复平面内的点与复数集构成一一对应关系．以原点O为起点，复数z与复平面内的对应点Z为终点的向量一一对应，的模叫做复数z的模．

（四）运算法则

z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a、b、c、d∈R)．

1．z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i；

2．z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

3．

说明：通过梳理知识点，让学生进一步理解和熟悉所学知识，为后面运用知识解决问题打下基础。

（五）误区警示

1.复数代数形式z＝a＋bi中，a、b∈R，应用复数相等的条件，必须先化成代数形式．

2．复数表示各类数的条件的前提必须是代数形式z＝a＋bi(a、b∈R)，z为纯虚数的条件为a＝0且b≠0，注意虚数与纯虚数的区别．

3．复数运算的法则，不要死记硬背，加、减可类比合并同类项，乘法可类比多项式乘法，除法可类比分母有理化．

4．a2≥0是在实数范围内的性质，在复数范围内z2≥0不一定成立，|z|2≠z2. 5．复数与平面向量联系时，必须是以原点为始点的向量．

6．不全为实数的两个复数不能比较大小．

7．复平面的虚轴包括原点. 说明：通过误区警示，消除了学生在学习过程中产生的疑惑。

三、题型探究

题型一

复数的概念

熟练掌握复数的代数形式，复数相等及复数表示各类数的条件是熟练解答复数题的前提．

例1已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i，当m取何实数值时，复数z是：

(1)零；

(2)纯虚数；

(3)z＝2＋5i. [解析]

(1)由题意可得，

即m＝0或m＝1

，∴m＝1. m＝－3或m＝1

所以当m＝1时，复数z为零．

(2)由题意可得，

m＝0或m＝1 解得，所以m＝0. m≠－3且m≠1所以m＝0时，z为纯虚数．

(3)由题意可得，m＝2或m＝－1解得，∴m＝2. m＝－4或m＝2所以当m＝2时，复数z为2＋5i. 说明：例1在老师带学生分析之后分三个小组完成解题过程，各组派一位同学上黑板板书，之后让其他学生做出评价，包括解题格式，解题方法，求解过程及结果。

题型二

复数的运算

复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加、减、乘、除，加减法是实部与

实部、虚部与虚部分别相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分母有理化，要注意i2＝－1. 2．复数四则运算法则是进行复数运算的基础，同时应熟练掌握i幂的周期性变化，即i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1，复数的四则运算常与复数的概念、复数的几何意义等结合在一起考查．

例2(1)复数(2) 复数A．

C．的值是____________. 等于（

）

B．

D．

例2由两位学生上黑板板书，其余学生在下面练习，之后让其他学生做出评判。

题型三

复数及其几何意义

复数z＝a＋bi(a，b∈R)和复平面上的点Z(a，b)一一对应，和向量正确求出复数的实部和虚部是解决此类题目的关键．

z例3 若i为虚数单位，如图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是1＋i(

) 一一对应，

A．E

B．F

C．G

D．H 解析：选D

由题图可得z＝3＋i，所以3＋iz＝＝1＋i1＋i3＋i1＋i1－i4－2i＝21－i

＝2－i，则其在复平面上对应的点为H(2，－1)．

说明：例3由一位同学在黑板上书写解题过程，之后由其他学生做出评价。

题型四

复数的模及其几何意义

复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应复平面上的点Z，则复数的模|z|＝|，即Z(a，b)到原点的距离．

例4

已知复数z满足|z＋2－2i|＝1，求|z－3－2i|的最小值．

解：法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，

则|x＋yi＋2－2i|＝1，

即|(x＋2)＋(y－2)i|＝1. ∴(x＋2)2＋(y－2)2＝1. ∴|z－3－2i|＝＝x－3x－32＋y－22 |＝2＋1－x＋22＝－10x＋6，

由(y－2)2＝1－(x＋2)2≥0，得x2＋4x＋3≤0.

∴－3≤x≤－1，∴16≤－10x＋6≤36.

∴4≤－10x＋6≤6.

∴当x＝－1时，|z－3－2i|取最小值4. 法二：由复数及其模的几何意义知：

满足|z＋2－2i|＝1，

即|z－(－2＋2i)|＝1的复数z所对应的点是以C(－2,2)为圆心，半径r＝1的圆，而|z－3－2i|＝|z－(3＋2i)|的几何意义是：复数z对应的点与点A(3,2)的距离．

由圆的知识可知|z－3－2i|的最小值为|AC|－r. 又|AC|＝3＋22＋2－22＝5，

所以|z－3－2i|的最小值为5－1＝4. 说明：例4由老师讲解并板书解题过程，考虑到学生的基础比较薄弱，接受知识的能力较差，只讲第一种方法。第二种方法让学有余力的学生在课后完成。

四、自主演练

2i1．复数z＝的虚部是

(

) 1＋i

A．i

B．－I

C．1 解析

z＝2i2i＝1＋iD．－1 1－i＝1＋i，故选C．

22．设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝

(

) A．－3

B．－2

C．2

D．3 解析

(1＋2i)(a＋i)＝(a－2)＋(2a＋1)i，由已知条件，得a－2＝2a＋1，

解得a＝－3.故选A．

3．(1＋i)(2＋i)＝

(

) A．1－I

B．1＋3i

C．3＋I

D．3＋3i 解析]

(1i)(2＋i)＝2＋i＋2i－1＝1＋3i.故选B．

4．若复数z满足(1＋2i)＝4＋3i，则z＝____________. 解析

＝4＋3i＝1＋2i4＋3i1＋2i1－2i4－8i＋3i＋610－5i＝＝5＝2－i. 51－2i

5．已知复数z，且|z|＝2，求|z－i|的最大值，以及取得最大值时的z.

解：法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，

∵|z|＝2，∴x2＋y2＝4，

|z－i|＝|x＋yi－i|＝|x＋(y－1)i|＝

＝∵y2＝4－x2≤4，∴－2≤y≤2.

故当y＝－2时，5－2y取最大值9，

从而5－2y取最大值3，此时x＝0，

即|z－i|取最大值3时，z＝－2i. 法二：方程|z|＝2表示以原点为圆心，以2为半径的圆，而|z－i|表示圆上的点到点A(0,1)的距离．

.

如图，连接AO并延长与圆交于点B(0，－2)，显然根据平面几何的知识可知，圆上的点B到点A的距离最大，最大值为3，

即当z＝－2i时，|z－i|取最大值3. 说明：练习第5题要求学生用第一种方法做出即可，代数方法让学生在课后完成。

五、课堂小结

1.本节课你学到了什么？

2.本章用到了什么数学思想方法？

六、布置作业：

1.高效课堂：P38

5，

P39

9 2.高效课堂：章末小结与测评

3.阶段质量检测（三）

课后反思：本节复习课是在学生掌握了一定的基础知识的基础上进行的，复习过程是在巩固基础知识的基础上学会运用基础知识解决问题，考虑到学生基础一般，能力较弱，在教学中有意识地选择了学生能够接受的方式和方法去教学，比如，题型四的教学，选择了数形结合的方法进行求解，而对复杂的代数方法只留作学生的课后思考题，这既照顾到了基础薄弱的学生，又照顾到了好学生。本节课不足之处是练习题设计的有点多，整个教学过程有点快节奏。