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课题：数列中an与Sn的递推公式的应用

第

1 课时

共

1 课时

对于任意一个数列，当定义数列的前n项和通常用Sn表示时，记作Sn＝a1＋a2＋…＋an.

知识与技能

S1，n＝1，通项公式an＝Sn－Sn－1，n≥2

教学目标

角度一：直观运用已知的Sn，求an；

过程与方法

角度二：客观运用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求与an，Sn有关的结论；

体会数学形成和发展的一般规律；

情感态度价值观

培养学生的辨证思想.

教学重点

教学难点

课

型

教学资源

由数列前n项和Sn求数列通项公式an

化简整理

新授课

《全品学练考》

手段方法

板书，导学案

教

学

过

程

对于任意一个数列，当定义数列的前n项和通常用Sn表示时，记作S1，n＝1，Sn＝a1＋a2＋…＋an，此时通项公式an＝．

S－S，n≥2nn－1学生活动

而对于不同的题目中的an与Sn的递推关系，在解题时又应该从哪些方向去灵活应用an＝Sn－Sn－1(n≥2)去解决不同类型的问题呢？

(1)先利用a1＝S1求出a1；

(2)用n－1替换Sn中的n得到设计意图

我们将从下面三个角度去探索在各类考试中出现的an与Sn相关的问题

在部分题目中需要深刻理解“数列的前n项和”的实际意义，对“和的式子”有本质的认识，这样才能更好的运用Sn求解．

而对于不同的题目中的an与Sn的递推关系，在解题时又应该从哪些方向去灵活应用an＝Sn－Sn－1(n≥2)去解决不同类型的问题呢？

我们将从下面三个角度去探索在各类考试中出现的an与Sn相关的问题：归纳起来常见的角度有：

角度一：直观运用已知的Sn，求an；

角度二：客观运用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求与an，Sn有关的结论；

角度三：an与Sn的延伸应用．

一、直观运用已知的Sn求an

方法：已知Sn求an的三个步骤(此时Sn为关于n的代数式)：

(1)先利用a1＝S1求出a1；

(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；

(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，一个新的关系，

1

如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．

利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出

当n≥2时，a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)·an－1＝(n－2) ·3n＋3；则用已知等式减去上式得(2n－1)·an＝(2n－1)·3n，得an同时，在部分题目中需要深刻理解“数列的前n项和”的实际意义，当n≥2时an的表对“和的式子”有本质的认识，这样才能更好的运用Sn求解．如：a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n－1，其中a1＋2a2＋3a3＋…＋nan表示数列{nan}的前n项和．

1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n＋2，则数列{an}的通项公式为(

) A．an＝2n－3

B．an＝2n＋3 1，n＝11，n＝1C．an＝

D．an＝

2n－3，n≥22n＋3，n≥2达式；

(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的

通项公式合写；如果不符合，则【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3．当n＝1时，a1＝S1＝1，应该分n＝1与不满足上式．

2．(2015·河北石家庄一中月考)数列{an}满足：a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)·an＝(n－1) ·3n+1＋3(n∈N*)，则数列的通项公式an＝

．

【解析】当n≥2时，a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)·an－1＝(n－2) ·3n＋3；则用已知等式减去上式得(2n－1)·an＝(2n－1)·3n，得an＝3n；当n＝1时，a1＝3，满足上式；故an＝3n．

【答案】an＝3n

n当n＝1n≥2两段来写．

＝3；

时，a1＝3，满足上式；故an＝3n．

3．(2015·天津一中月考)已知{an}的前n项和为Sn，且满足log2(Sn＋1)＝n＋1，则an＝

．

2

教

学

过

程

学生活动

设计意图

3

S1，n＝1，二、运用an＝，求与Sn，an有关的结论

S－S，n≥2－nn1

自主探究，加以总结

已知条件往往是一个关于an与Sn的等式，问题则是求解与an，Sn有关联的结论．那么我们需要通过对所求问题进行客观分析后，判若所求问题定最后的结果中是保留an，还是Sn．那么，主要从两个方向利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)：

此类题目中，已知条件往往是一个关于an与Sn的等式，问题则是求解与an，Sn有关联的结论．那么我们需要通过对所求问题进行客观分

析后，判定最后的结果中是保留an，还是Sn．那么，主要从两个方向利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)：

方向一：若所求问题是与an相关的结论，那么用Sn－Sn－1＝an (n≥2)消去等式中所有Sn与Sn－1，保留项数an，在进行整理求解；

1．(2015·广州潮州月考)数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1，n∈N*)，则数列的通项公式是

．

2．数列{an}的前n项和为Sn，若an＋1＝－4Sn＋1，a1＝1．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Tn．

方向二：若所求问题是与Sn相关的结论，那么用an＝Sn－Sn－1(n≥2)消去等式中所有项数an，保留Sn与Sn－1，在进行整理求解．

1．已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a11＝．

21(1)求证：S是等差数列；

n

是与Sn相关的结论，那么用an＝Sn－Sn－1(n≥2)消去等式中所有项数an，保留Sn与Sn－1，在进行整理求解．

(2)求an的表达式．

【总结】此类题目往往伴随着等差、等比数列的判定，所以需要对数列的判定方法熟练掌握．

三、Sn和an的延伸应用

解此类题目中不仅需要深刻理解“数列的前n项和”的实际意义，解此类题目中不

仅需要深刻理解

S1，n＝1，还需要对an＝关系式的形式结构很熟练的掌握，这样Sn－Sn－1，n≥2“数列的前n项

才能在题目中对已知等式灵活地变换．

和”的实际意义，

还需要对an＝已知等式在整理过程中需要因式分解

此类问题大多数时候会伴随“各项均为正数的数列{an}”这样的条件，运用在因式分解后对因式进行符号的判定，对因式进行的取舍．

1．(2015·山东青岛一模)各项均为正数的数列{an}满足－1(n∈N*)，其中Sn为{an}的前n项和．

4 S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2

a2n＝4Sn－2an关系式的形式结构很熟练的掌

(1)求a1，a2的值；

(2)求数列板书{an}的通项公式．

设

计5 握，这样才能在题目中对已知等式灵活地变换．

当然在解决问题的时候仍然需要从求谁的角度出发分析，确定等式的变换方向．

课后小结

6