3、反比例的意义精品学案特级教师教学实录

正比例、反比例的意义

一、导入:

这节课我们学习正比例和反比例,这可是六年级下学期的内容。

二、方向问题、变量、不变量

1、总起:

黑板上有5句话,你能不能看一句,接着再来说一句呢?

2、示范:

一辆汽车每小时行30千米

看了这句话你能想到:如果这辆汽车行驶的时间变多,那么路程(也要变多)。板书:时间↗

路程↗

同学们,我在这里表示的两个箭头合理吗?(合理,向上的↗就表示变大的意思。) 3、练习

(1)一辆汽车要行驶1200千米,如果这辆汽车速度变快,那么行驶的时间会怎样变?板书:速度↗

时间↘

(2)妈妈比儿子大25岁,如果儿子的年龄变大,那妈妈的年龄会怎样变?

板书:儿子↗

妈妈↗

(3)妈妈买了20个桔子分给儿子和女儿如果儿子吃得多些,那么女儿吃的桔子数就会怎样变?

板书:儿子↗

女儿↘

(4)正方形的边长与面积如果边长变大,那么面积会怎样?

板书:边长↗

面积↗

4、变量与不变量

(1)示范:第一题中共有几种数量?哪一种数量不变?哪些数量变化了?

我们把不变的数量叫不变量,变化的数量叫做变量。

(2)巩固:说说其它四题中的数量中哪些是变量?哪些是不变量?

5、变化规律分类

这5题中都有两种变量,它们的变化方向都相同吗?那么可以分成几类呢?(同向变化与反向变化)

三、同向比较与定义正比例

1、导入:

上面有三组变量是同向变化的,这是他们共同的变化规律,这三组变量在变化过程中是否有不同的特点呢?

2、分别考察变化特点:

（1）第1题：一辆汽车每小时行30千米

② 引导：看出什么规律来了吗？那好，我们来算一下，30÷1=30，60÷2呢？（还是等于30）90÷3呢？（还是30）120÷4呢？

③ 归纳 ：也就是说这两种变量在变化过程中，它们的什么保持不变？也就是比值不变。（这两种变量在变化过程中比值保持不变。）

④ 追因： 哎，这个比值怎么会不变的？是偶然？是巧合？还是有道理的？

（让学生发言）

是不是真的有道理？哦，路程和时间的比值是30，也就是速度，在这道题目中，速度是每小时30千米是给我们的，是不变的，定死的，所以路程和时间的比值才会永远是30。板书： 路程=速度（一定） 时间

（2）第2题：妈妈比儿子大25岁

③ 归因 ：为什么差保持不变？（因为妈妈总是比儿子大25岁，是不变的）

（3）第3题 正方形的边长与面积

3、 定义

（1）小结 看来这三题中两种变量的变化方向虽然相同，但是它们的变化规律有还是有不同的，谁来说说它们变化的不同特点？（第1题中，两种变量在变化过程中比值保持不变；第2题中，两种变量在变化过程中差保持不变；第3题中，两种变量在变化过程中没有什么保持不变。）

（2）定义 像第1题中，时间和路程这两种变量在变化过程中比值不变（一定），那么这两种量就是成正比例的量，（贴出：如果两种变量在变化过程中比值一定，那么这两种变量就是成正比例的量）这句话你懂了吗？把这句话复述一遍。

4、 进一步理解：

（1）第1题中，哪两种量成正比例？（时间和路程）为什么？（因为它们在变化过程中比值不变。）

（2）第2题中，妈妈的年龄和儿子的年龄成正比例吗？为什么？

(3)第3题中,正方形的边长和面积成正比例吗?为什么?

四、反向比较与定义反比例

1、导入:

剩下的两组变量都是反向变化的,它们在变化过程中又有什么不同的特点呢?

2、分别考察变化特点:

(1)第1题:一辆汽车要行驶1200千米,

①推测:汽车要行驶1200千米。在这个条件下,速度变了,时间也随着变,在变化过程中,它们的什么保持不变?(乘积保持不变)。你怎么知道乘积会保持不变的呢?(速度和时间的乘积是路程,而路程在题目中是设定的。)

②列表验证:到底大家说得对不对呢?我们也来举举例吧。(列表举例)

③沟通

a、检验:同学们,我们刚才猜得对吗?我们一起来看一下,这两个数乘起来得1200,(10×120=1200,20×60=1200,30×40=1200,40×30=1200),看来我们的猜测是正确的。

b、沟通:你们看,乘出来的结果都是多少?(1200)这个1200就是题中给定的1200千米。

板书:速度X时间=路程(一定)

2、第2题:妈妈买了20个桔子分给儿子和女儿

①在这个条件下,儿子吃得越多,女儿就吃得越少,在变化过程中,它们的什么保持不变?(和不变)

②猜测与说理你怎么知道和会保持不变的呢?(因为儿子吃的与女儿吃的和是20个,是题中给定的,是不变的。)

③列表验证1 2 3 4 … 19 18 17 16 …

④沟通

a、检验:同学们,我们刚才猜得对吗?我们一起来看一下,这两个数加起来得20, (1+19=20,2+18=20,3+17=20,4+16=20),看来我们的猜测是正确的。

b、沟通:你们看,加起来的结果都是多少?(20)这个20就是题中给定的20个桔子。

3、定义

①小结:看来这两题中两种变量的变化方向虽然相反,但是它们的变化规律有还是有不同的。谁来说说它们变化的不同特点?(第1题中,两种变量在变化过程中积不变;第2题中,两种变量在变化过程中和不变。)

②定义:像第1题中,速度和时间这两种变量在变化过程中积不变(一定),那么这两种量就是成反比例的量(贴出:如果两种变量在变化过程中积一定,那么这两种变量就是成反比例的量)

4、进一步理解:

①第1题中,哪两种量成反比例?(速度和时间)为什么?(因为它们在变化过程中积不变。)

②第2题中,儿子吃的桔子与女儿吃的桔子成反比例吗?为什么?

5、用字母表示各自特点

（1） 刚才我们学了正、反两种比例，你们觉得混淆吗？

（2）如果用y、x表示两种变量，这两种变量在什么时候成正比例？什么时候成反比例？

y引导得出：正比例：k(一定）；反比例：xy=k(一定) x

五、举例法优化为推理法

一辆汽车行了3小时

在这个条件下，速度变化了，路程也要变化，那么速度和路程成什么比例呢？ 怎么看出来的？

①举例法判断

②不举例你能判断吗？（路程和速度的比值是时间，题中时间3小时是一定的，也就是路程和速度的比值是一定的，所以成正比例。

③优化 ：刚才我们判断这两种量比值一定，我们用了两种方法，一种是举例法，一种是根据数量关系来推测的方法，举例法固然好，但根据数量关系来推测的话，举例都不要举例了，好象更方便、更高级！对不对？

那下面你们会不会用根据数量关系来推测的方法了？

六、具体量过渡为一定量

1、 如果把上题中的“3小时”改成“8小时”，这两种量成什么比例？为什么？改成 “9小时”呢？改成 “10小时”呢？ 也就是说，只要时间一定，速度和路程就成正比例。（板书）

2、例2“一辆汽车要行驶1200千米”中，如果把“1200千米”改成“1500千米”，速度和时间成什么比例？为什么？改成 “1800千米”呢？ 也就是说，只要路程一定，速度和时间就成反比例。（板书）

3、 如果速度一定呢？时间和路程就成什么比例？为什么？（板书）

4、 总结： 如果时间一定，速度和路程就成正比例； 如果路程一定，速度和时间就成反比例。 如果速度一定，时间和路程就成正比例。

七、整体把握

现在给你3个量“单价 数量 总价”，请你说3句话，当什么时候哪两种量成什么比例？

八、综合练习

下面每题中的两种量是不是成比例。如果成比例，是成正比例关系，还是成反比例关系，并说明理由。

① 每小时织布米数一定，织布总米数和时间。

② 把一堆粮食装入麻袋，麻袋的数量和每袋粮食的重量。

③ 正方形的边长与它的周长。

④ 正方形的边长与它的面积。

⑤ 订阅《中国少年报》的份数和总的钱数。

⑥ 人的年龄和体重。