一 比较法优秀教学设计说课稿

第二讲

证明不等式的基本方法

2．1 比

较

法

1．了解用作差比较法证明不等式．

2．了解用作商比较法证明不等式．

3．提高综合应用知识解决问题的能力．

1．作差法：

要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：

a＞b⇔a－b________0 a＝b⇔a－b________0 a＜b⇔a－b________0 答案：＞

＝

＜

22思考1 比较两个代数式值的大小：x与x－x＋1. 222222解析：当x＝1时，x＝x－x＋1；当x＞1时，x＞x－x＋1；当x＜1时，x＜x－x＋1.

2．作商法：

由于当b＞0时，a＞b⇒＞1，因此要证明a＞b(b＞0)，可以转化为证明与之等价的＞1(b＞0)，这种证明方法即为作商法．

1816.思考2 求证：16＞18

718562812881621816证明：∵16＝32＝4＝＞1，∴16＞18.

183381abab

一层练习

1．设m＝a＋2b，n＝a＋b＋1，则(

) A．m＞n B．m≥n C．m＜n D．m≤n

答案：D

2

1

2．已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a，c－b＝4－4a＋a，则a，b，c的大小关系是(

) A．c≥b＞a B．a＞c≥b

C．c＞b＞a D．a＞c＞b

答案：A

2553223223．已知下列不等式：①x＋3＞2x(x∈R)；②a＋b＞ab＋ab(a，b∈R)；③a＋b≥2(a－b－1)．其中正确的个数为(

) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

答案：C

4.2a2________1(填“≥”“≤”“>”或“<”)．

1＋a22答案：≤

二层练习

5．若a＞b，则代数式a＋ab与ab＋b的大小关系是(

) 3223A．a＋ab＜ab＋b 3223B．a＋ab≥ab＋b

3223C．a＋ab＝ab＋b D．不能确定

3223332222解析：∵a＞b，∴(a＋ab)－(ab＋b)＝(a－b)＋(ab－ab)＝(a－b)(a＋ab＋b)＋ab(a－b)＝(a－b)·(a＋b)2≥0，∴a3＋a2b≥ab2＋b3. 答案：B

11226．设0<2a<1，M＝1－a，N＝1＋a，P＝，Q＝，那么(

) 1－a1＋aA．Q

C．Q

答案：C

7．若a＞b＞0，下列各式中恒成立的是(

) 2a＋bab＋1bA.＞ B.2＞2

a＋2bba＋1a11abC．a＋＞b＋ D．a＜a

223223ab答案：B

abba8．设a，b均为正数，且a≠b，则ab与ab的大小关系是______________．

abba答案：ab＞ab

9.6－22与5－7的大小关系________________________________________________________________________．

是

2

答案：(6－22)＞(5－7)

22210．设P＝ab＋5，Q＝2ab－a－4a，若P＞Q，则实数a，b满足的条件为________．

22222解析：P－Q＝ab＋5－2ab＋a＋4a＝(ab－1)＋(a＋2).∵P＞Q，P－Q＞0.∴ab≠1或a≠－2. 答案：ab≠1或a≠－2

ab11．若a，b均为正数，求证：2＋2≥a＋b. ba证明：证法一

左边－右边＝332121ab＋－(a＋b) ba（a＋b）[（a）－2ab＋（b）]＝

22＝（a）＋（b）－（a＋b）abab（a＋b）（a－b）2ab＝ab，

2因为a＋b＞0，ab＞0，(a－b)≥0，

所以abab＋－(a＋b)≥0，所以＋≥a＋b. babaaba－bb－aa－bb－a证法二

左边－右边＝＋－(a＋b)＝＋＝＋＝bababa（a－b）（a－b）＝（a＋b）（a－b）2ab所以ab≥0，

ab＋≥

a＋b. baab＋2ba（a）3＋（b）3a＋b－ab左边（a－b）证法三

＝＝＝＝1＋≥1，

右边a＋bab（a＋b）ababab所以＋≥

a＋b.

ba

三层练习

12．已知a≥b>0，求证：2a－b≥2ab－ab. 3322322322222证明：∵2a－b－(2ab－ab)＝(2a－2ab)＋(ab－b)＝2a(a－b)＋b(a－b)＝(a2－b)(2a＋b)＝(a＋b)(a－b)(2a＋b)．

又∵a≥b>0，∴a＋b>0，a－b≥0，2a＋b>0，

∴(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0，

3322∴2a－b－2ab－ab≥0，

33223

∴2a－b≥2ab－ab.

13．设不等式|2x－1|<1的解集为M. (1)求集合M；

(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．

解析：(1)由|2x－1|<1得－1<2x－1<1，

解得 0

(2)由(1)和a，b∈M可知0

所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0. 故ab＋1>a＋b.

14．设a，b是非负实数，求证：a＋b≥ab(a＋b)．

证明：由a，b是非负实数，作差得

33223322a3＋b3－ab(a2＋b2)＝a2a(a－b)＋b2b(b－a)＝(a－b)[(a)5－(b)5]．

5555当a≥b时，a≥b，从而(a)≥(b)，得(a－b)·[(a)－(b)]≥0；

5555当a＜b时，a＜b，从而(a)＜(b)，得(a－b)·[(a)－(b)]＞0. 3322所以a＋b≥ab(a＋b)．

比较法是证明不等式的一种最基本、最常用的方法，比较法除了课本中介绍的作差比较法(即利用a＞b⇔a－b＞0)，还有作商比较法(即要证明a＞b，而b＞0，只要证明＞1)．作差比较法的基本步骤是：作差、变形、判断符号．变形是关键，目的在于能判断差的符号，而不必考虑差的具体值是多少．为便于判断差式的符号，通常将差式变形为常数或几个因式的积、商形式或平方和形式．当所得的差式是某个字母的二次三项式时，则常用判别式法判断符号．变形方法常用分解因式、通分、配方、有理化等．多项式不等式、分式不等式或对数不等式常用作差比较法证明．作商比较法的基本步骤是：作商、变形、判断商值与1的大小，适用于两边都是正值的幂或积的形式的不等式．其中判断差值的正负及商值与1的大小是用比较法证明不等式的难点．判断过程应详细叙述．用比较法证明不等式时，当差式或商式中含有字母时，一般需对字母的取值进行分类讨论．

ab

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