2.3.1 圆的标准方程优质课教学设计

4．1.1 圆的标准方程

教学目标

1．明确圆的基本要素，能用定义推导圆的标准方程．

2．会求圆的标准方程，能够判断点与圆的位置关系．

教学重难点

教学重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程．

教学难点：根据具体条件求写出圆的标准方程，

教学过程

（一）情景导入、展示目标

前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？

1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？

平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆)．

2：图2-9中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？

圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．

（二）合作探究、精讲精练

探究一：如何建立圆的标准方程呢？

1．建系设点

由学生在黑板上画出直角坐标系，并问有无不同建立坐标系的方法．教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导．因为C是定点，可设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．

2．写点集

根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}．

3．列方程

由两点间的距离公式得：4．化简方程

将上式两边平方得：

(x-a)+(y-b)

=r (1)

方程(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程．

探究二：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？

这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．当圆心在原点即C(0，0)时，方程为 x+y=r．

教师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．

基础知识

1．圆

基本要素

标准方程

图示

当圆心的位置与半径的大小确定后，圆就唯一确定了，因此，确定一个圆的基本要素是______和______ 圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程是____________ 说明

若点M(x，y)在圆C上，则点M的____适合方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2；反之，若点M(x，y)的坐标适合方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则点M在____上

点拨

由圆的标准方程，可直接得到圆心和半径；给出圆心和半径，也可直接写出圆的标准方程．

【做一做1－1】

圆x2＋y2＝1的圆心为( ) A．(0,0)

B．(1,1)

C．(0,1)

D．不存在

【做一做1－2】

圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2的半径为( ) A．1

B.

C．2

D．4

练习：写出下列各圆的方程

圆心在点C（3,4），半径是√5 （C类学生做）

（2）

经过点P（5,1），圆心在点C（8，-3）（AB类学生做）

补充练习

写出圆的圆心坐标和半径

（x+1）2+（y-2）2=9 （C类学生做） （2）（x+a）2+y2=a2 （AB类学生做）

2．点与圆的位置关系

圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝. 位置关系

d与r的大小

图示

点P的坐标的特点

点在圆外

d____r

(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2

点在圆上

d____r

(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2

点在圆内

d____r

(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2

（四）例题解析

题型一：判断点与圆的位置关系

例1.写出圆心为A（2，3）半径长等于5的圆

的方程，

并判断点M1（5，-7），M2（- ，-1）是否在这个圆上。

练习：

1.已知圆C：(x－5)2＋(y－6)2＝10，试判断点M(6,9), N(3,3)，Q(5,3)与圆C的位置关系． （C类学生做）

2.已知点A(1,2)在圆C:(x-a)2+(y+a)2=2a2的内部,求实数a的取值范围.（B类学生做）

3.圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，点P(x0，y0)在圆C内部，

且d＝(x0－1)2＋(y0＋2)2，则有( ) （A类学生做）

A.d>2 B.0≤d<2 C.d>4 D.0≤d<4 题型二：求圆的标准方程

例2. 三角形ABC的三个顶点的坐标分别是A(5，1),B(7，-3),C(2，-8) 求它的外接圆的方程．

反思：求圆的标准方程的方法：

(1)直接法(如本题解法一)，直接求出圆心坐标和半径．

(2)待定系数法(如本题解法二)，步骤是：

①设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；

②由条件列方程(组)解得a，b，r的值；

③写出圆的标准方程．

练习：课本121页第4题 板书设计：

作业布置：

补充练习

1．圆心为(0,4)，且过点(3,0)的圆的方程为( ) （C类）

A．x2＋(y－4)2＝25 B．x2＋(y＋4)2＝25

C．(x－4)2＋y2＝25 D．(x＋4)2＋y2＝25 2．已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3,2)( ) （C类）

A．是圆心

B．在圆上

C．在圆内 D．在圆外

3．点P(1，－1)在圆(x＋2)2＋y2＝m的外部，则实数m的取值范围是__________．（B类）

4．已知△ABC的三个顶点分别为A(1,1)，B(1,4)，C(5,1)，求它的外接圆的方程．

（A类）