探究与发现 组合数的两个性质课件配套优秀教案案例

1.2.1排列（第一课时）

教学目标：理解排列的概念；

能用“树型图”写出一个排列问题中所有的排列。

教学重点：排列的概念。

教学难点：用“树型图”写出一个排列问题中所有的排列。

教学过程：

一、复习引入：

1、分类加法计数原理和分步乘法计数原理；

2、在1.1节的例9中我们看到,用分步乘法计数原理解决这个问题时,因做了一些重复性工作而显得繁琐,能否对这一类计数问题给出一种简捷的方法呢? 二、讲解新课：

1. 问题：

问题1．从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？

分析：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，共有6种不同的排法：甲乙

甲丙

乙甲

乙丙

丙甲

丙乙，其中被取的对象叫做元素

解决这一问题可分两个步骤：第

1 步，确定参加上午活动的同学，从

3 人中任选

1 人，有

3 种方法；第

2 步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的

2 人中去选，于是有

2 种方法．根据分步乘法计数原理，在

3 名同学中选出

2 名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共2=6 种，如图

1.2一1 所示．

有

3×

把上面问题中被取的对象叫做元素，于是问题可叙述为：从3个不同的元素

a , b ，。中任

取

2 个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是ab,ac,ba,bc,ca, cb, 2=6 种．

共有

3×问题2．从1,2,3,4这

4 个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？

分析：解决这个问题分三个步骤：第一步先确定左边的数，在4个字母中任取1个，有4种方法；第二步确定中间的数，从余下的3个数中取，有3种方法；第三步确定右边的数，从余下的2个数中取，有2种方法

3×2=24种不同的方法，用树型图排出，并写出所有的排列由此可由分步计数原理共有：4×写出所有的排法

显然，从

4 个数字中，每次取出

3 个，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，就得到一个三位数．因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数．可以分三个步骤来解决这个问题：

第

1 步，确定百位上的数字，在

1 , 2 , 3 , 4 这

4 个数字中任取

1 个，有

4 种方法；

第

2 步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的

3 个数字中去取，有

3 种方法；

第

3 步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的

2 个数字中去取，有

2 种方法．

根据分步乘法计数原理，从

1 , 2 , 3 , 4 这

4 个不同的数字中，每次取出

3 个数字，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，共有

4×3×2=24 种不同的排法，

因而共可得到24个不同的三位数，如图1. 2一2 所示．

由此可写出所有的三位数：

123，124, 132, 134, 142, 143，

213，214, 231, 234, 241, 243，

312，314, 321, 324, 341, 342，

412，413, 421, 423, 431, 432 。

同样，问题

2 可以归结为：

从4个不同的元素a, b, c，d中任取

3 个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？

所有不同排列是

abc, abd, acb, acd, adb, adc,

bac, bad, bca, bcd, bda, bdc, cab, cad, cba, cbd, cda, cdb,

dab, dac, dba, dbc, dca, dcb. 3×2=24种. 共有4×树形图如下

a

b

ｃ

ｄ

ｂ

ｃ

ｄ

ａ

ｃ

ｄ

ａ

ｂ

ｄ

ａ

ｂ

ｃ

2．排列的概念：

从n个不同元素中，任取m（mn）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺．．．．

序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．．．．．说明：（1）元素不能重复。n个中不能重复，m个中也不能重复。

（2）“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。

（3）两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。

（4）m＜n时的排列叫选排列，m＝n时的排列叫全排列。

（5）为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用“树形图”。

例1、下列问题中哪些是排列问题？

（1）10名学生中抽2名学生开会；

（2）10名学生中选2名做正、副组长；

（3）从2,3,5,7,11中任取两个数相乘；

（4）从2,3,5,7,11中任取两个数相除；

（5）20位同学互通一次电话；

（6）20位同学互通一封信；

（7）以圆上的10个点为端点作弦；

（8）以圆上的10个点中的某一点为起点，作过另一个点的射线；

（9）有10个车站，共需要多少种车票；

（10）有10个车站，共需要多少种不同的票价？

解：第（2）（4）（6）（8）（9）题是排列问题。

三、练习：P20.练习

1.（1）(2) 四、小结：

排列问题，是取出m个元素后，还要按一定的顺序排成一列，取出同样的m个元素，只要排列顺序不同，就视为完成这件事的两种不同的方法（两个不同的排列）．

由排列的定义可知，排列与元素的顺序有关，也就是说与位置有关的问题才能归结为排列问题．当元素较少时，可以根据排列的意义写出所有的排列．

五、作业：P28.习题1.2 A组13. B组2.