2.3.4 圆与圆的位置关系第二课时教学实录

古希腊大哲学家芝诺的学生问他：“老师，难道你也有不懂的地方吗？”芝诺风趣地打了一个比方：“如果用小圆代表你学到的知识，用大圆代表我学到的知识，那么大圆的面积是多一些，但两圆之外的空白，都是我们的无知面，圆越大，其圆周接触到的无知面就越多”

（学然后知不足，教然后知困）

然后引出课题。

提问：

点与圆的位置关系？

直线与圆的位置关系？

圆与圆的位置关系有哪些？

1.请学生简述日食形成过程中的数学问题，并举出生活中与两圆的位置关系有关的例子。

2.请学生演示两圆的运动过程，引出圆与圆的五种位置关系。

设计意图:让学生充分体会数学来源于生活，再次对圆与圆的位置关系有深刻的理解，活跃课堂气氛，提高学生的积极性。

师：初中时，我们是如何判断两圆的位置关系的？

生：利用圆心距与两圆半径的和与差之间的关系判断。

设O1O2的长度为d

外离d

O

1

R

r

O

2

O

1

R

r

O

2

R

O

1

r

O

2

Rr 外切dRr 相交RrdrR

O

r

1

O

2

R

O

r

1

O

2

R内切dRr 内含dRr

师：回忆一下前面学过的判断点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系都用了哪些方法？

生：几何法和坐标法

师：能说说坐标法的思路吗？

生：联立直线与圆的方程，消元得到一元二次方程，用判断，

0直线与圆相交；0直线与圆相切

；

0直线与圆相离

注：一方面起到复习巩固的作用，一方面激发学习热情

师：很好，如何判断圆与圆的位置关系？

生：几何法和坐标法

自主探究: 1.例题：已知圆C1;x2y22x30,圆C2:x2y24x2y30 判断两圆的位置关系？若相交求出公共弦所在的直线方程及公共弦长？（幻灯片）

问题：①.你能在同一坐标系中画出两个方程表示的圆吗？（学生做完图后用几何画板演示两圆的位置关系）

②.根据你所画的图形，可以直观的判断两个圆的位置关系，如何把这些直观的事实转化为数学语言呢？

③.如何判断两圆的位置关系呢？具体步骤是什么？

活动:教师引导学生观察图形思考。并关注多少学生利用图形求解，教师在下面巡视，选出代表将自己的方法写在黑板上。

设计意图:1培养学生自主探究的能力2.让学生板演格式，及时发现问题给予纠正。

3.学生分析问题，解决问题的能力。4.加强数形结合的意识。

讨论结果：1.图

2．学生板演几何法和坐标法的做题步骤 解法一：平面几何（略）

解法二：坐标法,联立方程组

方程联立消元判别式 0

所以方程有两个不等的实数根x2y22x30

22xy4x2y30x1,x2,即而可以求出y1,y2因此两圆有不同的交点Ax1,y1Bx2,y2，只判断不求解

所以两圆的位置关系是相交。

师：很好。谁来说说坐标法的思想是什么？

生：0圆与圆相交；0圆与圆相切

；

0圆与圆相离

活动：教师带领学生总结用坐标法和几何法判断圆与圆位置关系的步骤

2.问题：已知上题中的两圆相交，你能否求出公共弦所在的直线方程。

活动：学生思考交流，探讨解题思路，教师及时引导，学生争先发表自己的看法

生1：求出两圆的交点坐标，利用两点式公式就可以求出直线方程。

生2:求出两圆连心弦的斜率，因为公共弦所在直线与连心线垂直，则可根据k1k21

得到公共弦所在直线的斜率。又由中点坐标求出中点，点斜式方程。

师：很好，大家的方法很好，那么你从发现了什么问题啊？

生：坐标法中做差得到的表达式就是公共弦所在的直线方程！

师：呵呵，好的，请你在图上做出方程的图。你们的发现对吗？

生：是，原来我们已经求出公共弦所在的方程！

设计意图：充分调动学生的积极性，拓展学生的思维，深化几何问题坐标化的思想，体现数形结合的思想。引导学生验证探究的结论，以此获得成就感。

师总结：这样以来，两圆的公共点的问题就转化为直线xy30

与圆C1;x2y22x30,（或者C2:x2y24x2y30）公共点的问题。那么，我们就可以用圆心到直线的距离与半径的关系来判断圆与圆的位置关系。这是我们经常说的什么思想？

生：化归的思想。

设计意图：通过教师的总结，使问题进一步深化。

3.问题：你能求出公共弦长吗？

生1：设圆心到公共弦的距离为圆心为d,圆的半径为r利用关系公共弦长2r2d2

生2: 两点间的距离公式dx1x22y1y22求出两圆的交点坐标。

活动:教师首先给予评价，及时表扬学生，选出代表进行两种方法的板演。

设计意图:此问是对几何法与坐标法解决问题的深化，也是又一次的对比。再一次强调了数形结合的思想的应用，提高了学生解决问题的能力。

已知圆C1：x2y22mx2ym2150,C2:x2y24mx2y4m20

m0，试求m为何值时两圆①相切②相交③相离？

设计意图：进一步巩固坐标法和几何法判断圆与圆的位置关系的应用，并通过此题比较几何法和坐标法各自的优点。

1.圆x2y2ax2y10关于直线x-y=1对称的圆的方程为x2y21, 则实数a的值为 2.

已知圆C1：x2y21和圆C2：(x1)2y216，动圆C与圆C1外切，与圆C2内切，求动圆C的圆心轨迹方程．

摘要: 重难点：掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的几何图形及其判断方法，能用坐标法判直线与圆、圆与圆的位置关系．

经典例题：已知圆C1：x2+y2＝1和圆C2：(x-1)2+y2＝16，动圆C与圆C1外切，与圆C2内切，求动圆C的圆心轨迹

... 重难点：掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的几何图形及其判断方法，能用坐标法判直线与圆、圆与圆的位置关系．

经典例题：已知圆C1：x2+y2＝1和圆C2：(x-1)2+y2＝16，动圆C与圆C1外切，与圆C2内切，求动圆C的圆心轨迹方程．

当堂练习：

1．已知直线（

）

A．

D．

B．

C．

和圆

有两个交点，则的取值范围是2．圆x2+y2-2acosx-2bsiny-a2sin=0在x轴上截得的弦长是（

）

A．2a

B．2|a|

C．|a|

D．4|a| 3．过圆x2+y2-2x+4y- 4=0内一点M（3，0）作圆的割线，使它被该圆截得的线段最短，则直线的方程是（

）

A．x+y-3=0

B．x-y-3=0

C．x+4y-3=0

D．x-4y-3=0 4．若直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2-2x=0相切，则a的值为（

）

A．1或-1

B．2或-2

C．1

D．-1 5．若直线3x+4y+c=0与圆(x+1)2+y2=4相切，则c的值为（

）

A．17或-23

B．23或-17

C．7或-13

D．-7或13 6．若P(x,y)在圆 (x+3)2+(y-3)2=6上运动，则

A．-3+2

B．-3+

的最大值等于（

）

C．-3-2

D．3-27．圆x2+y2+6x-7=0和圆x2+y2+6y-27=0的位置关系是（

）

A．

相切

B．

相交

C．

相离

D．内含

8．若圆x2+y2=4和圆x2+y2+4x-4y+4=0关于直线对称，则直线的方程是（

）

A．x+y=0

B．x+y-2=0

C．x-y-2=0

D．x-y+2=01．

9．圆的方程x2+y2+2kx+k2-1=0与x2+y2+2(k+1)y+k2+2k=0的圆心之间的最短距离是（

）

A．

B．2

C．1

D．

10．已知圆x2+y2+x+2y=和圆(x-sin)2+(y-1)2=圆的位置关系是（

）

, 其中0900, 则两

A．相交

B．外切

C．内切

D．相交或外切

11．与圆(x-2)2+(y+1)2=1关于直线x-y+3=0成轴对称的曲线的方程是（

）

A．(x-4)2+(y+5)2=1

B．(x-4)2+(y-5)2=1

C．(x+4)2+(y+5)2=1

D．(x+4)2+(y-5)2=1 12．圆x2+y2-ax+2y+1=0关于直线x-y=1对称的圆的方程为x2+y2=1, 则实数a的值为（

）

A．0

B．1

C．

2

D．2 13．已知圆方程C1：f(x,y)=0，点P1(x1,y1)在圆C1上，点P2(x2,y2)不在圆C1上，则方程：

f(x,y)- f(x1,y1)-f(x2,y2)=0表示的圆C2与圆C1的关系是（

）

A．与圆C1重合

B．

与圆C1同心圆

C．过P1且与圆C1同心相同的圆

D．

过P2且与圆C1同心相同的圆

14．自直线y=x上一点向圆x2+y2-6x+7=0作切线，则切线的最小值为___________．

15．如果把直线x-2y+=0向左平移1个单位，再向下平移2个单位，便与圆x2+y2+2x-4y=0相切，则实数的值等于__________．

16．若a2+b2=4, 则两圆(x-a)2+y2=1和x2+(y-b)2=1的位置关系是____________．

17．过点(0,6)且与圆C: x2+y2+10x+10y=0切于原点的圆的方程是____________．

18．已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=25, 直线：（2m+1）x+(m+1)y-7m-4=0(mR),

证明直线与圆相交；

(2) 求直线被圆C截得的弦长最小时，求直线的方程．

19．求过直线x+3y-7=0与已知圆x2+y2+2x-2y-3=0的交点，且在两坐标轴上的四个截距之和为-8的圆的方程．

20．已知圆满足：（1）截y轴所得弦长为2，（2）被x轴分成两段弧，其弧长的比为3：1，（3）圆心到直线：x-2y=0的距离为

21．求与已知圆x2+y2-7y+10=0相交，所得公共弦平行于已知直线2x-3y-1=0且过点（-2，3），（1，4）的圆的方程．

，求这个圆方程．

参考答案：

经典例题：

解：设圆C圆心为C(x, y), 半径为r，由条件圆C1圆心为C1(0, 0)；圆C2圆心为C2(1, 0)；

两圆半径分别为r1＝1, r2＝4，∵圆心与圆C1外切

∴|CC1|＝r+r1，

又∵圆C与圆C2内切，

∴|CC2|＝r2-r

（由题意r2>r），∴|CC1|+|CC2|＝r1+r2，

即圆心轨迹方程. 当堂练习：

1.D; 2.B; 3.A; 4.D; 5.D; 6.A; 7.B; 8.D; 9.A; 10.D; 11.D; 12.D; 13.D; 14.; 15. 13或3; 16. 外切; 17. (x-3)2+(y-3)3=18; , 化简得24x2+25y2-24x-144＝0, 即为动圆18. 证明：（1）将直线的方程整理为（x+y-4）+m(2x+y-7)=0，由,

直线过定点A（3，1），

（3-1）2+（1-2）2=5<25，点A在圆C的内部，故直线恒与圆相交. （2）圆心O（1，2），当截得的弦长最小时，方程为y-1=2(x-3)，即2x-y-5=0. AO，由kAO= -, 得直线的19. 解：过直线与圆的交点的圆方程可设为x2+y2+2x-2y-3+(x+3y-7)=0, 整理得x2+y2+（2+）x+（3-2）y-3-7=0，令y=0，得x2+y2+（2+）x -3-7=0 圆在x轴上的两截距之和为x1+x2= -2-,同理，圆在y轴上的两截距之和为2-3，故有-2-+2-3=-8，=2，所求圆的方程为x2+y2+4x+4y-17=0. 20. 解：设所求圆圆心为P（a,b），半径为r，则点P到x轴、y轴的距离分别

为|b|、|a|，

由题设知圆P截x轴所对劣弧对的圆心角为900，知圆P截x轴所得弦长为故r2=2b2, 又圆P被 y轴所截提的弦长为2，所以有r2=a2+1，从而2b2-a2=1.

又因为P（a,b）到直线x-2y=0的距离为，

r，所以d==，即|a-2b|=1,

解得a-2b=1, 由此得, 于是r2=2b2=2, 所求圆的方程是(x+1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2. 21. 解：公共弦所在直线斜率为，已知圆的圆心坐标为（0，），

故两圆连心线所在直线方程为y-=-x, 即3x+2y-7=0,设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 由

,

所求圆的方程为x2+y2+2x-10y+21=0. 1．圆x2+y2+6x-7=0和圆x2+y2+6y-27=0的位置关系是（

）

A．

相切

B．

相交

C．

相离

D．内含

2．若圆x2+y2=4和圆x2+y2+4x-4y+4=0关于直线对称，则直线的方程是（

）

A．x+y=0

B．x+y-2=0

C．x-y-2=0

D．x-y+2=01．

3．圆的方程x2+y2+2kx+k2-1=0与x2+y2+2(k+1)y+k2+2k=0的圆心之间的最短距离是（

）

A．

B．2

C．1

D．

4．已知圆x2+y2+x+2y=和圆(x-sin)2+(y-1)2=, 其中0900, 则两圆的位置关系是（

）

A．相交

B．外切

C．内切

D．相交或外切

5．与圆(x-2)2+(y+1)2=1关于直线x-y+3=0成轴对称的曲线的方程是（

A．(x-4)2+(y+5)2=1

B．(x-4)2+(y-5)2=1

C．(x+4)2+(y+5)2=1

D．(x+4)2+(y-5)2=1

）