小结名师课堂实录

正态分布教学设计

一、考纲导视

考纲要求

考点分布

考情风向标

1.利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.

2.利用3σ原则求概率问题

时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个

利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义

2012年新课标卷考查正态分布及相互独立事件；

2014年新课标卷Ⅰ考查正态分布及数学期望；

2015年湖北卷考查正态分布；

2015年山东卷考查正态分布；

2015年湖南卷考查正态分布

二、要点梳理

1.正态分布

（1）定义

(2)一般地，如果对于任何实数a

P(a

完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ).如果随

机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ).μ，σ分别表示总体

的平均数(期望值)与标准差.

(3)当μ＝0，σ＝1时的正态分布叫做标准正态分布，记作X～

N(0,1).

2.正态曲线的特点

(1)曲线位于

x 轴上方，与

x 轴不相交. (2)曲线是单峰的，关于直线__________对称

1

(3)曲线在x＝μ处达到峰值σ2π.

(4)曲线与

x 轴之间的面积为_____. (5)当σ一定时，曲线随μ的变化沿

x 轴平移. (6)当μ一定时，曲线形状由σ确定：σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越分散；σ越________，曲线越“高瘦”，表示总体分布越集中. 3.3σ原则

(1)P(μ－σ

ba22

1.正态曲线下、横轴上，从均值到＋∞的面积为(A.0.95B)B.0.5C.0.975D.不能确定(与标准差的大小有关)2.标准正态分布的均值与标准差分别为(A)A.0 与1B.1 与0C.0 与0D.1 与13.已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝(A.0.477C)B.0.628C.0.954D.0.9774.已知随机变量X 服从正态分布N(a,4)，且P(X>1)＝0.5，则实数a 的值为(A.1C.2A)B.3

D.4

考点1正态分布的相关计算例1：(1)已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤x≤4)＝0.6826，则P(X>4)＝(A．0.1588)B．0.1587C．0.1586D．0.15851－P(2≤x≤4)2解析：根据正态分布的对称性，得P(x>4)＝1－0.6826＝＝0.1587.2答案：B

(2)(2015 年山东)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6))内的概率为((附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ< ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)A．4.56%C．27.18%B．13.59%D．31.74%解析：用ξ表示零件的长度，根据正态分布的性质得0.9544－0.68261P(3<ξ<6)＝2[P(－6<ξ<6)－P(－3<ξ<3)]＝＝20.1359，故选B. 答案：B

(3)已知随机变量X 服从正态分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.8，则P(0

【互动探究】1．在某次数学考试中，考生的成绩X 服从正态分布，即X～N(100,100)，已知满分为150 分．若这次考试共有2000 名考生参加，试估计这次考试不及格(小于90 分)的人数．解：由X～N(100,100)知μ＝100，σ＝10.P(90

考点2正态分布密度函数的性质2例2：(1)(2015年湖北)设X～N(μ1，σ21)，Y～N(μ2，σ2)，这

两个正态分布密度曲线如图9-7-1.下列结论中正确的是()图9-7-1

A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)解析：由正态密度曲线的性质可知，X～N(μ1，σ2Y～N(μ2，1)，σ22)的密度曲线分别关于x＝μ1，x＝μ2对称，因此结合所给图象2可得μ1<μ2且X～N(μ1，σ21)的密度曲线较Y～N(μ2，σ2)的密度曲线“瘦高”，所以0<σ1<σ2，所以对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)．

答案：C

易错、易混、易漏⊙与正态分布结合的综合问题例题：设在一次数学考试中，某班学生的分数服从X ～N(110,202)，且知满分150 分，这个班的学生共54 人．求这个班在这次数学考试中及格(不小于90 分)的人数和130 分以上的人数．思维点拨：要求及格的人数，即求出P(90≤X≤150)，而求此概率需将问题化为正态变量几种特殊值的概率形式，然后利用对称性求解．

1e2，x∈(－∞，＋∞)的结构特点，

1．熟悉f(x)＝·2πσ以及μ，σ的实际意义．2．正态曲线的形状特征——对称性，顶点变化趋势．要充分利用正态曲线的关于直线x＝μ对称和曲线与x 轴之间的面积为1.3．正态分布中P(a≤x≤b)几何意义是正态密度函数图象与x 轴及直线x＝a，x＝b 围成的图形的面积．4．在实际问题中进行概率、百分比计算时，关键把正态分2(x)2布的两个重要参数μ,σ求出，然后确定三个区间(μ－σ,μ＋σ),(μ－2σ,μ＋2σ),(μ－3σ,μ＋3σ),由3σ原则进行联系求解．