1.3 二项式定理（通用）含PPT的教学设计及点评

1．3．1二项式定理

一、教学目标

1．知识目标：掌握二项式定理及其简单应用

2．过程与方法：培养学生观察、归纳、猜想能力，发现问题，探求问题的能力，逻辑推理能力以及科学的思维方式。

3．情感态度和价值观：培养学生勇于探索，勇于创新的个性品质，感受和体验数学的简洁美、和谐美和对称美。

二、教学重点、难点

重点：二项式定理的发现、理解和初步应用及通项公式

难点：展开式中某一项的二项式系数与该项的系数的区别

三、教学过程

创设问题情境：

问题1

abdc的展开式有多少项？有无同类项可以合并？

由于这一节是在学生学习了两个计数原理和排列组合知识之后学习的，所以学生能够快速的说出答案。

问题2

abb的ab原始展开式有多少项？有几项是同类项？项是怎样构成a的？有规律吗？

学生根据乘法展开式也很快得出结论

问题3

abbaa是哪几项？

学生仍然根据乘法公式算出了答案.教师趁此机会提出2bab原始展开式有多少项？经合并后又只能有几项？的3(ab)4呢？(ab)n呢？学生开始有些迟疑了，教师展示本次课的标题，告诉他们本节课的内容。

问题4

abbaaba的bab的原始展开式有多少项？

44问题5

你能准确快速地写出ab的原始展开式的16项吗？经合并后，又只能有哪几项？

此时，学生能说出其中的一两项，并不能全部回答出来所有的项，思维觉察到麻烦，困难，易出错——借此“愤悱”之境，有效的实现思维的烘热）

0（1）

若每个括号都不取b，只有一种取法得到a，即C4种

1（2）

若只有一个括号取b，共有C4种取法得到ab

2（3）

若只有两个括号取b，共有C4种取法得到ab

3（4）

若只有三个括号取b，共有C4种取法得到ab

132234

4（5）

若每个括号都取b，共有C4种取法得到b

4引导学生发现：原始展开式中确有同类项存在，且确实可省去“合并”

04132223344因此ab3C4aC4abC4abC4abC4b

4问题6

其个数，为何恰好应为该项的系数？

nrr问题7

ab在合并后的展开式中，ab的系数应该是多少？有理由吗？

n问题8

那么，该如何将ab轻松、清晰地展开？请同学们归纳猜想

学生们快速地说出

nabn0n1n1n2n22CnaCnabCnabknkkCnabnnCnbnN*

我们数学讲究逻辑地严密性和知识的严谨性，大家猜想地很正确，那么我们怎么来证明呢？

思路：证明中主要运用了计数原理！

①

展开式中为什么会有那几种类型的项？

abn是n个ab相乘，展开式中的每一项都是从这n个ab中各任取一个字母相nk乘得到的，每一项都是n次的。故每一项都是a②

展开式中各项的系数是怎么来的？

bk的形式，k0,1,2,,n

kankbk是从n个ab中取k个b，和余下nk个a相乘得到的，有Cn种情况可以得到kankbk，因此，该项的系数为Cn

定义：一般地，对于任意正整数n，上面的关系式也成立，即有

abn0n1n1n2n22CnaCnabCnabknkkCnabnnnCnbnN*

注：（1）公式左边叫做二项式，右边叫做ab的二项展开式

（2）定理中的a,b仅仅是一种符号，它可以是任意的数或式子什么的，只要是两项相加的n次幂，就能用二项式定理展开

例：把b换成b，则

abn0n1n1n2n22CnaCnabCnabknkk1Cnabknn1CnbnN*

n练习：令a1,bx，则

1xn01122CnCnxCnxkkCnxnnCnxnN*

问题9

二项式定理展开式中项数、指数、系数特点是什么？哪一项最有代表性

公式特征：

（1）

项数：共有n1项

（2）

指数规律：

①

各项的次数都等于二项式的系数n（关于a与b的齐次多项式）

②

字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n

knkk（3）

二项式展开式的通项：Tk1Cnab，k0,1,2,012（4）

二项式系数：依次为Cn,Cn,Cn,kCn,n

,n）称为二nk。这里Cn（k0,1,2,,Cn项式系数

例1

展开(11)x4

61例2

求2x的展开式

x方法一：直接展开

11技巧：将根式先化成幂的形式，再进行计算，要简单很多。即原式变成2x2x2

6方法二：先合并化简，再展开

建议用第二种方法简单些。

变式一：展开式中的常数项是多少？

变式二：展开式中的第3项是多少？

变式三：展开式中的第3项的系数是多少？

变式四：展开式中的第3项二项式系数是多少？

注意：二项式系数和系数是两个不同的概念，二项式系数就是一个组合数，与a,b无关；系数与a,b有关。

12(xa)例3

求的展开式中的倒数第4项

7(12x)例4

（1）求的展开式的第4项的系数和第4项的二项式系数

1xx的展开式中x3的系数和中间项

（2）小结：（1）注意二项式定理中二项展开式的特征

（2）区别二项式系数、项的系数

（3）掌握用通项公式求二项式系数、项的系数及项。

课堂作业：课本P.31 练习

课后作业：P36 习题1.3A组1. 2. 5

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