2.3.1 圆的标准方程国家获奖教案

8.3.1

圆的标准方程

【教学目标】

1．掌握圆的标准方程，并能根据圆的方程写出圆心坐标和半径．

2．会根据已知条件求圆的标准方程．

3．进一步培养学生数形结合能力，综合应用知识解决问题的能力．

【教学重点】

圆的标准方程，根据已知条件求圆的标准方程．

【教学难点】

圆的标准方程的推导．

【教学方法】 这节课主要采用讲练结合的方法．首先复习圆的定义，在定义的基础上，推导了圆的标准方程．最后通过例题，学习了圆的标准方程的应用．

【教学过程】

环节

教学内容

师生互动

设计意图

使学生明确学习内容．

让学生回顾圆的定义，明确确定圆必须知道圆心和半径．

1．五环旗、赵州桥引入．

师：圆是我们生活中经常遇到

的曲线，这节课我们就来学习圆的

标准方程．

2．圆的定义

教师提出问题，学生回答．

平面内到一定点的距离等于定长

的点的轨迹．定点是圆心，定长为半径．

如何求以C（a，b）为圆心，以r为半径的圆的方程？

设M（x，y）是所求圆上任一点，点M在圆C上的充要条件是

|CM|＝

r．

由距离公式，得

(x－a)2＋(y－b)2

＝

r，

两边平方，得

(x－a)2＋(y－b)2＝r2．

练习一

说出下列圆的方程：

（1）以C（1，－2）为圆心，半径为3的圆的方程；

（2）以原点为圆心，半径为3的圆的方程．

练习二

说出下列圆的圆心及半径：

引

入

新

课

师：设M（x，y）是圆上任意紧扣圆的定义一点，点M在圆上的充要条件是什推导方程．

么？

学生回答，教师点评．

使学生明确圆师：你能把|CM|＝

r用点的坐的标准方程的形式．

标表示出来吗？

学生回答，教师点评．

师：把得到的方程两边平方后，

化简得到方程是怎样的？

师：方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2

就是以C(a，b)为圆心，以r为半径

的圆的方程，称为圆的标准方程．

学生口答，教师点评．

强化训练．

学生口答，教师点评．

1

新

课

（1）x2＋y2＝1；

（2）(x－3)2＋(y＋2)2＝16；

（3）(x＋1)2＋(y＋1)2＝2；

（4）(x－1)2＋(y－1)2＝4．

例1 求过点A(6，0)，且圆心B的坐标为(3，2)的圆的方程．

解

因为圆的半径

师：求一个圆的标准方程需要知道哪几个量？本例中，哪些量是已知的？需要我们求什么？怎么求？

r＝|AB|＝(3－6)2＋(2－0)2

学生回答，教师点评后，让学＝13，

所以所求圆的方程是

生解答本题．

(x－3)2＋(y－2)2＝13．

例2 求以直线x－y＋1＝0和x＋

师：本例中半径是已知的，需y－1＝0的交点为圆心，半径为3的圆要我们先求出圆心，也就是两条直的方程．

线的交点，怎么求？

解

由方程组

学生回答后，教师指导学生完成．

x－y＋1＝0

x＋y－1＝0

解得

x＝0

y＝1

所以，所求圆的圆心坐标为(0，1)，

又因为圆的半径为3，所以圆的方程为

x2＋(y－1)2＝3．

练习三

（1）求过点A(3，0)，且圆心B的学生练习，教师巡视．

坐标为(1，－2)的圆的方程；

（2）求以直线x－y＝0和x＋y＝1的交点为圆心，半径为2的圆的方程．

1．以C(a，b)为圆心，以r为半径的圆的标准方程是

(x－a)2＋(y－b)2＝r2．

2．确定一个圆的标准方程的条件是：圆心坐标和半径．

教材P93练习A组第2题．

教材P94练习B组第1题（选做）．

学生在教师的引导下回顾本节主要内容．

明确确定圆的方程的条件．

强化训练．

小

结

简洁明了概括本节课的重要知识，学生易于理解记忆．

作

业

学生标记作业．

针对学生实际，对课后书面作业实施分层设置． 2