2.基本不等式教学内容概述

1.2 基本不等式

一，教学目标

1、知识与技能： ab≤ab

2

理解基本不等式的内容及其证明，理解这个基本不等式的几何意义，能利用基本不等式进行简单的应用，能够解决求最值、证明不等式、比较大小、求取值范围等问题。

2、过程与方法：

能够理解并建立不等式的知识链，从基本不等式的证明过程了解不等式证明的常用思路：由条件到结论，或由结论到条件。

3、情感、态度与价值观：

通过运用基本不等式解答实际问题，提高用数学手段解答现实生活中的问题的能力和意识，通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯和数形结合的思想。

二，教学重点及难点

1，教学重点：

应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探究基本不等式abab的证明过程。

22，教学难点：

从不同角度探索基本不等式的证明过程。

3，教学方法：

按照“创设情境——自主探究——启发引导——教师讲解”的模式来组织教学。 4，教学用具：教师准备：PPT的课件。

三，教学过程：

（1）

复习准备

回顾：一元二次函数求最值问题。

（2）

导入新课

问：王老伯想用长为24米的篱笆围成一个养鸡场，请你设计一个方案，使该养鸡场的面积最大？

答：当边长为6米时，养鸡场的面积最大，是一个正方形，面积为36平方米。

问：大家是如何计算的呢？

引导学生回答出：设边长分别为A及（12-A），所以面积就是A*（12-A），用一元二次函数求最值的方法求解。并鼓励学生用创新的方式求解，给予相应的肯定。

问：大家回答的很好。之后，王老伯改变了主意，如图，他想在图形的阴影部分种上一些名贵的花。现在你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何寻找？

问：四个全等的直角三角形的面积之和与大正方形的面积有什么关系呢？

答：四个全等的直角三角形的面积之和不大于大正方形的面积。（多媒体动态演示变化过程，引导学生注意何时相等。）

问：同学们已经学过从具体的情境中抽象出不等关系，并把其表示出来的相关练习，请同学们用不等式表示上述不等关系。为了表示方便，我们可设直角三角形的两直角边的长分别为a,b。

答：四个全等的直角三角形的面积之和为2ab，大正方形的面积为a2b2,则

a2b22ab。

当直角三角形变为等腰直角三角形,即ab时,正方形EFGH缩为一个点时有a2b22ab。

问：如何证明

a2b22ab，当且仅当ab时取等号。

2答：由a2b22abab0，所以a2b22ab

2当且仅当ab0，即ab时取等号。

问：所以，我们为王老伯设计场地时，是不是就用到了这个等号关系呢？那么，当a0,b0时，以a，b代替此式中a,b的可得到一个什么样的关系式？

答：ab2ab

（3）.新课探究

[板书]：若a0,b0，则abab，当且仅当ab时取等号。

2

师：能否从不等式的性质直接推导出上式？

答：方法一：

因为

a0,b0

则abab－2ab－ab22a－b02ab所以ab，即22

abab2方法二（引导学生填写下面证明过程）：

abab

①

要证：2

只要证：ab

②

要证②，只要证

ab—

0

③

要证③，只要证（

—

）

2

0

④

显然④是成立的，当且仅当ab时④中的等号成立

ab师：ab≤

有什么几何意义？（引导学生探究下面的问题）

2探究：AB是圆的直径，点C是AB上一点，ACa,BCb，过点C作垂直于AB的弦DE，连AD，BD，你能利用这个图形得出不等式ab≥ab2的几何解释吗？

ab[板书]：ab≤

的几何意义：半弦长不大于半径2长。

ab常把ab叫做正数a,b的几何平均数，叫做正数a,b的算术平均数。

2ab说明两个正数的几何平均数不大于其算术平均数。

ab≤2（4）练习：

如下的解答过程是否正确，为什么？

4

(1)求函数yx的值域x

44

解：yx2x4函数值域为[4，)xx

分析：本题的解答忽略了对基本不等式使用时，变量必须是正数这一点。

4

(2)已知a3,求a的最小值

a3

4444解：a3,a30,a2a,当a,即a4时,a取得最小值为8

a3a3a3a3分析：本题的解答正确。提醒同学注意：在使用基本不等式求最值为题时，式中的积或和必须是定值。

（5）小结：

1. 不等式

a2b22ab

2. 基本不等式

ab≤ab,使用基本不等式需要注意适用条件，“一正，二2定，三相等”正数。积定和最小、和定积最大。

3. 不等式的证明方法。(数形结合的思想) （6）作业：

1．补充：已知x0，当x取什么值时，

x22．

已知：x0,求证：1x13.

习题3.4

A组

2，3

81的值最小？最小值是多少？

x2x（仿照基本不等式的证明方法）

2