一 数学归纳法课时教案

4.1

数学归纳法

庆来学校——李娅

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教学目标：

1.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的数学命题；

2. 进一步发展猜想归纳能力和创新能力，经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想。

教学重点：数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法的证题步骤的掌握。

教学难点：数学归纳法中递推思想的理解。

教学过程：

一、创设情境，引出课题

（1）不完全归纳法：

今天早上，我曾疑惑，怎么庆来学校只招男生吗？因为清晨我在学校门口看到第一个进校园的是男同学，第二个进校园的也是男同学，第三个进校园的还是男同学。于是得出结论：学校里全部都是男同学，同学们说我的结论对吗？

（这显然是一个错误的结论，说明不完全归纳的结论是不可靠的，进而引出第二个问题）

（2）完全归纳法：

一个火柴盒，里面共有五根火柴，抽出一根是红色的，抽出第二根也是红色的，请问怎样验证五根火柴都是红色的呢？

（将火柴盒打开，取出剩下的火柴，逐一进行验证。）

注：对于以上二例的结果是非常明显的，教学中主要用以上二题引出数学归纳法。

结论：不完全归纳法→结论不可靠；

完全归纳法→结论可靠。

问题：以上问题都是与正整数有关的问题，从上例可以看出，要想正确的解决一个与此有关的问题，就可靠性而言，应该选用第几种方法？（完全归纳法）

情境一：（播放多米诺骨牌视频）

问：怎样才能让多米诺骨牌全部倒下？

二、讲授新课：

探究一：让所有的多米诺骨牌全部倒下，必须具备什么条件？

条件一：第一张骨牌倒下；

条件二：任意相邻的两张骨牌，前一张倒下一定导致后一张倒下。

探究二：同学们在看完多米诺骨牌视频后，是否对怎样证明122232…+n2n(n1)(2n1)有些启发？ 6222得出结论：证明123…+n（1）证明当n1时，命题成立；

2n(n1)(2n1)的两个步骤：

6（2）假设当nk(k1,kN)时命题成立，证明当nk1时命题也成立。

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0(n0N)时命题成立；

（2）（归纳递推）假设nk(kn0,kN)时命题成立，证明当nk1时，命题也成立。

只要完成以上两个步骤，就可以判定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。

上述方法叫做数学归纳法。

三、应用举例：

例1用数学归纳法证明：135…+(2n-1)=n

证明：（1）当n1时，左边1，右边11，等式成立；

（2）假设当nk（k≥1,kN*）时，135…+(2k-1)=k2，那么：

135…+(2k-1)+(2k+1)=[12(k1)1](k1)(k1)2，则当nk1时也成立。

2*2***2根据（1）和（2），可知等式对任何nN都成立。

注：①对例1，首先说明在利用数学归纳法证题时，当nk1时的证明必须利用nk的归纳假设， 例2：用数学归纳法证明求证：n5n(nN)能被6 整除. [证明]：1. 当n1时，1+5×1=6能被6整除，命题正确；

332. 假设nk时命题正确，即k35k能被6整除，

∴当nk1时，(k1)5(k1)(k3k3k1)(5k5)(k5k)

33233k(k1)6，

∵两个连续的整数的乘积k(k1)是偶数，3k(k1)能被6整除，

(k35k)3k(k1)6能被6整除，即当nk1时命题也正确，

由1,2知命题时nN都正确. 即：当nk1时，等式成立。

根据（1）和（2），可知等式对任何nN都成立。

注：上例可让学生独立完成，教师板书写现完整过程，以突出数学归纳法证题的一般步骤。

例3：平面内有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这*n个圆将平面分成f(n)=n2－n+2个部分. 分析要点：n=k+1时，在k+1个圆中任取一个圆C，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆C与k个圆有2k个交点，这2k个交点将圆C分成2k段弧，每段弧将它所在的平面部分一分为二，故共增加了2k个平面部分.因此，f(k+1)=f(k)+2k=k－k+2+2k=(k+1)－(k+1)+2. 证明：（略）

四、巩固练习：：

（1）

求证: (11)(1)(1（2）

用数学归纳法证明：

（Ⅰ）72n42n297能被264整除；

（Ⅱ）an1(a1)2n1能被a2a1整除（其中n，a为正整数）

（3）

是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）·3+9对任意正整数n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. （4）教材50 1、2、5题 五、课堂小结：

两个步骤与一个结论，“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”；从n=k到n=k+1时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等. 六、布置作业：

n22131)2n1（n∈N*）. 2n1

教材50 4、5、6题.