2.基本不等式教案设计

3.4.1 基本不等式第一课时

一、教学目标

1.核心素养

通过学习基本不等式，提升学生的直观想象、数学运算与逻辑推理的能力. 2.学习目标

（1）

探索基本不等式的证明过程；

（2）

会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 3.学习重点

应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程. 4.学习难点

用基本不等式求的最大（小）值. 二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

1.预习课本97页内容,感性认识a2+b2≥2ab这个重要不等式和等号成立的条件.

a+b2.能尝试从两方面证明基本不等式吗：ab≤2

(1)代数法

(2)几何法

2.预习自测

ba1.设a＞0,b＞0,则a+b

2（填≤或≥），并指出“＝”成立的条件. 答案：≥

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12.已知a∈R,设P＝(4+a2)(4+a2)，Q＝24，则P与Q的大小关系是

. 答案：P＞Q

a+b3.设a＞0,b＞0,a≠b,P=2,Q=2ab,M=排列是

答案：Q＞M＞P

（二）课堂设计

1.问题探究

问题探究一

什么是基本不等式ab

ab？

2a2+b22，则P、Q、M按由小到大的顺序●活动一

重要不等式a2b22ab？

观察与思考：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.你还记得是什么吗？

（1）设直角三角形的长为a、b，那么正方形的边长为_________;面积为_________,4个直角三角形的面积和是___________. （2）根据4个直角三角形的面积和与正方形面积的大小关系，我们在初中的时候从这个图案中找出过一个相等关系____________________，化简后得到勾股定理

. （3）根据4个直角三角形的面积和与正方形面积的大小关系，我们可得到一个怎样的不等式____________________. （4）4个直角三角形的面积和与正方形的面积有相等的情况吗？何时相等？图形怎样变化？

（5）你能给出它的证明吗？

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归纳小结：（重要不等式），对于任意的实数a,b,都有____________;当且仅当_________________. ●活动二

什么是基本不等式abab？

2（1）既然对于任意的实数a、b,都有a2b22ab,如果a0,b0，用a,b分别代替a2b22ab中的a、b可以得到

. （2）对于不等式ab

归纳小结：若a0,b0那么______________________,我们把这个不等式叫做基本不等式（又叫均值不等式）. （3）如下图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQa，BQb，过点Q作PQ垂直AB于Q，连接AP、PB.你能利用这个图形得出基本不等式abab几何解释吗？

2aba0,b0，你能给出证明吗？

2

基本不等式解读：①基本不等式的几何意义：

②平均数解释：

③基本不等式成立的条件是_________；结论是_________. 问题探究二

基本不等式有那些推论与重要变形？

重点知识，运用技巧★▲

1.平方平均、算术平均、几何平均与调和平均的关系：

a2b2ab2ab若a0,b0，则有，当且仅当

取等. 1122ab

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2. 基本不等式的几个重要变形：

ab2a2b2（1）a、bR,(，当且仅当

取等；

)____22（2）a、bR，ab___(ab2)，当且仅当

取等；

2ba（3）若ab0，

则+

2，当且仅当

取等；

ab问题探究三

利用基本不等式能解决哪些问题？

重点、难点知识★▲

●活动一

运用基本不等式比较大小

例1

(1)已知a、b∈(0,1)，且a≠b，那么在a＋b，2ab，a2＋b2，2ab中的最大者为________. 【知识点：基本不等式及取等条件】

详解：方法一

∵a、b∈(0,1)且a≠b，

∴a＋b>2ab，a2＋b2>2ab. 又∵当a、b∈(0,1)时，a>a2，b>b2，

∴a＋b>a2＋b2.∴最大者为a＋b. 11方法二

(特值法)，取a＝2，b＝3，代入即得：最大者为a＋b. a＋b(2)设a>0，b>0，试比较2，ab，

a2＋b22，211的大小，并说明理由. a＋b【知识点：算数平均数，几何平均数，调和平均数，均方根引出的重要结论】

112详解：方法一

∵a>0，b>0，∴a＋b≥，

ab2即ab≥11(当且仅当a＝b时取等号). a＋ba＋b2a2＋2ab＋b2a2＋b2＋a2＋b2a2＋b2又(2)＝≤＝2，

44a＋b∴2≤ a2＋b22(当且仅当a＝b时等号成立) a2＋b2a＋b2≥≥ab≥2211(当且仅当a＝b时等号成立). a＋ba＋b而ab≤2，故

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方法二

（特值法）取a＝1，b＝4代入即得结论. 点拨：(1)利用均值不等式及函数单调性是比较大小的常用方法；

(2)代入特殊值，通过计算先估算大小关系，后比较大小更具有目标性

●活动二

利用基本不等式求最值

例2 (1)已知a>0，b>0，且a·b＝2，则当a＝b＝______时，a＋b有最小值______. (2)已知a>0，b≥0，且a＋b＝2.则当a＝b＝______时，a·b有最大值_______. 【知识点：基本不等式】

详解：(1)∵a＋b≥2ab，∴当a＝b＝2时，a＋b有最小值22. a＋b2(2)∵ab≤(2)，∴当a＝b＝1时，a·b有最大值1. 点拨：利用基本不等式求最值，必须同时满足以下三个条件：

①各项均为正数；②其和或积为常数；③等号必须成立.即“一正，二定，三相等”.简记：积定和最小，和定积最大. ●活动三

利用基本不等式求最值

1例3 (1)已知x>－1，求f(x)＝x＋的最小值. x＋1(2)已知x>0、y>0，且5x＋7y＝20.求xy的最大值. 【知识点：基本不等式；数学思想：配凑，基本不等式推论】

详解：(1)∵x>－1，∴x＋1>0. ∴f(x)＝x＋11＝x＋1＋－1≥2x＋1x＋11(x＋1)·－1＝1. x＋1当且仅当x＋1＝∴f(x)min＝1. 1，即x＝0时取“＝”.

x＋1(2)∵x>0，y>0，

115x＋7y2120220∴xy＝35(5x·7y)≤35(2)＝35·(2)＝7. 10当且仅当5x＝7y＝10，即x＝2，y＝7时，取“＝”.

20∴(xy)max＝7. 点拨：在应用基本不等式求最值时，要把握定理成立的三个条件，就是“一正(各

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项都是正数)，二定(积或和是定值)，三相等(等号能否成立)”.求最值时，若忽略了某个条件，就会出现错误.导致解题的失败.如：本题(1)已知中将x>－1改为x>2，7则值域将变为(3，＋∞).

2.课堂总结

1. 基础知识思维导图

2.重点难点突破

利用均值不等式求最值时，应注意的问题

（1）各项均为正数，特别是出现对数式、三角数式等形式时，要认真考虑. （2）求和的最小值需积为定值，求积的最大值需和为定值. （3）确保等号成立. 以上三个条件缺一不可，可概括“一正、二定、三相等”.

3.基本不等式推广：若a,b,cR，

则取等号). 一般地，对于n个正数a1,a2,,an，则(当且仅当a1a2an时，取等号). 3.随堂检测

1.设0

)

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重要不等式：

a、bR，a2b22ab

均值不等式：

a+bab

a、bR，2均值不等

式的应用

均值不等式的重要变形

abc3abc(当且仅当abc时，3a1a2anna1a2an

n

a＋ba＋bA.a

B.a

a＋ba＋bC.a

D.ab

【知识点：基本不等式比较大小；】

解：∵0

a＋b又∵00，则a＋有最________值2，此时a＝________. a1②若a<0，则a＋a有最________值－2，此时a＝________. (2)若0

解：(1)①小

1

②大，－1 (2)1,1 13. 函数y＝log2(x＋＋5) (x>1)的最小值为(

) x－1A.－3

B.3 C.4

D.－4 【知识点：基本不等式，对数函数】

解：x＋11＋5＝(x－1)＋＋6≥2x－1x－1(x－1)·1＋6＝2＋6＝8，

x－1当且仅当x－1＝∴y＝log2(x＋故选B. 1即x＝2时取“＝”号，

x－11＋5)≥log28＝3. x－14.设a>1，b>1且ab－(a＋b)＝1，那么(

) A.a＋b有最小值2(2＋1)

B.a＋b有最大值(2＋1)2

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C.ab有最大值2＋1

D.ab有最小值2(2＋1) 【知识点：基本不等式变形的应用】

解：A

5.若x，y∈R，且x＋2y＝5，则3x＋9y的最小值(

) A.10

B.63

C.46

【知识点：基本不等式，指数式】

解：D

a＋b16.已知a＞b＞1，P＝lga·lgb，Q＝2(lga＋lgb)，R＝lg2，比较P、Q、R的大小. 【知识点：基本不等式，函数的单调性】

解：∵a＞b＞1，∴lga＞lgb＞0. 1∴2(lga＋lgb)＞lga·lgb，故Q＞P. a＋ba＋b又由2＞ab，得lg2＞lgab. 即lga＋b1＞(lga＋lgb)，故R＞Q. 22D.183 从而P＜Q＜R. （四）课后作业

基础型

自主突破

1. 不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(

) A.a＝±1

B.a＝1

C.a＝－1

【知识点：取等条件】

解：B

12. 设x>0，则y＝3－3x－x的最大值是(

) A.3

B.3－22

C.3－23

【知识点：基本不等式】

解：C

3. 若a>0，b>0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为(

) D.－1 D.a＝0

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1A.2

B.1

C.2

D.4 【知识点：基本不等式】

解：A

4. 下列函数中，最小值为4的函数是(

) 44A.y＝x＋x

B.y＝sinx＋sinx

C.y＝ex＋4e－x

D.y＝log3x＋logx81 【知识点：基本不等式，取等条件】

解：C

115. 已知a>0，b>0，则a＋b＋2ab的最小值是(

) A.2

B.22

C.4

【知识点：基本不等式】

解：D

xy6.已知x>0，y>0，且满足3＋4＝1，则xy的最大值为_____

___ 【知识点：基本不等式】

解：3 257.已知x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，求x＋y的最小值

【知识点：基本不等式，函数的单调性】

解：2 能力型

师生共研

ba2a2b28. 下列不等式①a＋1＞2a；②a＋4≥4a；③|a＋b|≥2；④2≤ab.其中恒成立a＋b222D.5 的是(

) A.①④

B.③④

C.②③

D.①②

【知识点：基本不等式】

bababa解：a与b同号，|a＋b|＝|a|＋|b|≥2.

9.(2012·福建)下列不等式一定成立的是(

) 11A.lg(x2＋4)>lgx(x>0)

B.sinx＋sinx≥2(x≠kπ，k∈Z)

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C.x2＋1≥2|x|(x∈R)

D.1>1(x∈R) x＋12【知识点：基本不等式，取等条件】

解：∵x2＋1≥2|x|⇔x2－2|x|＋1≥0，

∴当x≥0时，x2－2|x|＋1＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0成立；

当x<0时，x2－2|x|＋1＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0成立. 故x2＋1≥2|x|(x∈R)一定成立. 10. (2011·四川)若实数x、y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________. 【知识点：基本不等式常见变形】

解：x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy＝1，

x＋y23∴(x＋y)＝xy＋1≤(2)＋1.∴4(x＋y)2≤1.

223∴x＋y≤33.当且仅当x＝y＝3时等号成立. 11. 设正数x，y满足x＋y≤a·x＋y恒成立，则a的最小值是________. 【知识点：基本不等式】

解：2 探究型

多维突破

12.（1）设x>－1，求y＝(x＋5)(x＋2)的最小值；

x＋1x4＋3x2＋3（2）求函数y＝的最小值. x2＋1【知识点：基本不等式及应用】

解：(1)

∵x>－1，∴x＋1>0.设x＋1＝t>0，则x＝t－1. (t＋4)(t＋1)t2＋5t＋44于是有y＝＝＝t＋ttt＋5≥24当且仅当t＝t，即t＝2时取等号，此时x＝1. (x＋5)(x＋2)∴当x＝1时，函数y＝取得最小值为9. x＋1

(2)令t＝x2＋1，则t≥1，且x2＝t－1. 4t·t＋5＝9，

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x4＋3x2＋3(t－1)2＋3(t－1)＋3t2＋t＋11∴y＝＝＝＝t＋ttt＋1. x2＋11∵t≥1，∴t＋t≥211t·＝2，当且仅当t＝

tt，即t＝1时，等号成立，∴当x＝0时，函数取得最小值3. m2n213. 已知实数m,n，若m0且mn1，则的最小值为（

）

,n0，m2n11411A.

B.

C.

D.

41583【知识点：基本不等式及应用】

m2n2m244n21141m2n1解：

m2n1m2n1m2n1mn341412

m2n1m2n1mn1m2n14

4n1m2411114m2n144m2n11

m2n1m2n144n1m291

524m2n14m2n291m2n212，即的最小值为

4m2n144m2n1自助餐

1. 如果log3m＋log3n＝4，那么m＋n的最小值是(

) A.4

B.18

C.43

D.9 【知识点：基本不等式】

解：B

2.

(2013·福建)若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(

) A.[0,2]

B.[－2,0]

C.[－2，＋∞)

D.(－∞，－2] 【知识点：基本不等式】

解：D

3. 若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是(

)

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112baA.a＋b＞2ab

B.a＋b≥2ab

C.a＋b＞

D.a＋b≥2

ab22【知识点：基本不等式】

解：D

4.

已知正项等差数列{an}的前20项和为100，则a5·a16的最大值为(

) A.100

B.75

C.50

D.25 【知识点：基本不等式】

解：D

y满足4x29y23xy30，则xy的最大值是(

) 5. 若正数x、4A.3

5B.3

C.2

5

D.4

【知识点：基本不等式】

解：C

6.（襄阳市普通高中2016届高三统一调研）已知x > 0，y > 0，且2xyt22t恒成立，则实数t的取值范围是(

) 121，若xy

A.[－4，2]

B.(－4，2)

C.(0，2)

D.(0，4) 【知识点：基本不等式，恒成立】

解：B

7. 当0

解：[1，＋∞)

218. 若a0,b0，则ab的最小值是___________；

ab【知识点：基本不等式】

解：322

a2a1对一切正实数x成立，9.（2013·上海高考文科13）设常数a＞0.若9xx则a的取值范围为

. 【知识点：基本不等式，恒成立】

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1解：[5，＋∞). 考查均值不等式的应用，a2a21由题意知，当x0时,f(x)9x29x6aa1a. xx510. 已知x,y,zR，则xyyz的最大值是________ 222xyz【知识点：基本不等式，配凑思想】

解：xyyzxyyz2

点拔: 即2，

2211xyz22222xyyz22而x212111y2x2y22xy,z2y22z2y22yz，

2222xyyz2

22xy2yz1的最大值. x＋2所以11.(1)已知x<－2，求函数y＝2x＋x2＋5(2)求y＝2的最小值. x＋4【知识点：基本不等式，函数最值】

解：(1)∵x<－2，∴x＋2<0，－(x＋2)>0. －11∴y＝2(x＋2)＋－4＝－[－2(x＋2)＋]－4≤－2x＋2x＋2－22－4. 当且仅当－2(x＋2)＝－12(x<－2)，即x＝－2－2时，y取最大值－22－4. x＋2－1－2(x＋2)·－4＝x＋2111(2)令t＝x2＋4，则y＝f(t)＝t＋t，由f(t)＝t＋t(t≥2)的单调性，知y＝t＋t在[2，＋∞)上是增函数. 15∴t＝2时，f(t)min＝2＋2＝2，

5即当x2＋4＝2，也就是x＝0时，ymin＝2. 12.某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每

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层2 000平方米的建房.经测算，若将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购购地总费用地费用＝) 建筑总面积【知识点：基本不等式的应用】

2 160×10410 800解：设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为2 000x＝x. ∴每平方米的平均综合费用

y＝560＋48x＋10 800225＝560＋48(x＋xx). 225当x＋x取最小值时，y有最小值. 225∵x>0，∴x＋x≥2225x·x＝30. 225当且仅当x＝x，即x＝15时，上式等号成立. 所以当x＝15时，y有最小值2 000元. 因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少.

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