二 一般形式的柯西不等式教学内容概述

二

一般形式的柯西不等式

[学习目标]

1.理解三维形式的柯西不等式，在此基础上，过渡到柯西不等式的一般形式.2.会用三维形式及一般形式的柯西不等式证明有关不等式和求函数的最值．

[知识链接]

1．在空间向量中，有|α||β|≥|α·β|，据此如何推导三维的柯西不等式的代数形式．

答案

设α＝(a1，a2，a3)，β＝(b1，b2，b3)，则α·β＝a1b1＋a2b2＋a3b3代入向量式得：

222222(a21＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3). 当且仅当α·β共线时，即β＝0，或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3)时，等号成立．

2．在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为ai＝kbi(i＝1,2,3，…，n)，可以吗？

答案

不可以．不仅仅当ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立，当bi＝0(i＝1,2，…，n)时等号也成立．

[预习导引]

1．三维形式的柯西不等式

22222设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a2(b21＋a2＋a3)·1＋b2＋b3)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3).当且仅当b1＝b2＝b3＝0或存在一个数k，使得a1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb3时，等号成立．

2．一般形式的柯西不等式

22222设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a2(b21＋a2＋a3＋…＋an)·1＋b2＋b3＋…2＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn)，当且仅当bi＝0(i＝1,2,3，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3，…，n)时，等号成立.

要点一

利用柯西不等式证明不等式

2229例1

设a，b，c为正数且互不相等，求证：＋＋＞. a＋bb＋cc＋aa＋b＋c111证明

2(a＋b＋c)a＋b＋b＋c＋c＋a

1＋1＋1

＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]·a＋bb＋cc＋a＝[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]·

111a＋b2＋b＋c2＋c＋a2≥

11a＋b·＋b＋c·＋c＋a·a＋bb＋c＝(1＋1＋1)2＝9. 2229∴＋＋≥. a＋bb＋cc＋aa＋b＋c∵a，b，c互不相等，

∴等号不可能成立，从而原不等式成立．

规律方法

有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是我们只要改变一下多项式的形态结构，就可以达到利用柯西不等式的目的．

12－，，证明1＋2x＋3＋x＋2－3x＜32. 跟踪演练1

若x∈23证明

由柯西不等式可得：

18＝[(1＋2x)＋(3＋x)＋(2－3x)](1＋1＋1)≥(1＋2x·1＋3＋x·1＋2－3x·1)2

1＋2x3＋x2－3x11当且仅当＝＝，即x＝2且x＝－且x＝时取等号，所以等号不可能成立．

11145所以1＋2x＋3＋x＋2－3x＜32.

要点二

利用三维柯西不等式求函数的最值

例2

已知a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1，求4a＋1＋4b＋1＋4c＋1的最大值．

解

4a＋1＋4b＋1＋4c＋1 12

c＋a＝4a＋1·1＋4b＋1·1＋4c＋1·1 11≤(4a＋1＋4b＋1＋4c＋1)(12＋12＋12)

22

＝7×3＝21. 4a＋14b＋14c＋1当且仅当＝＝时取等号．

1111即a＝b＝c＝时，所求的最大值为21. 3

规律方法

利用柯西不等式，可以方便地解决一些函数的最大值或最小值问题．通过巧拆常数、重新排序、改变结构、添项等技巧，变形为能利用柯西不等式的形式．

跟踪演练2

已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求3a＋1＋3b＋1＋3c＋1的最大值．

解

根据柯西不等式，可得

(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)2

＝(1·3a＋1＋1·3b＋1＋1·3c＋1)2

≤(12＋12＋12)[(3a＋1)2＋(3b＋1)2＋(3c＋1)2] ＝3[3(a＋b＋c)＋3]＝18. 当且仅当3a＋1＝3b＋1＝3c＋1，

1即a＝b＝c＝时，(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)2的最大值为18. 3因此，3a＋1＋3b＋1＋3c＋1的最大值为18＝32.

要点三

一般形式柯西不等式的应用

a2a2a212n例3

设a1，a2，…，an为正整数，求证：＋＋…＋≥a1＋a2＋…＋an. a2a3a1222aaa12n＋＋…＋(a2＋a3＋…＋证明

由柯西不等式，得a1a2a3a1a2an·a2＋·a3＋…＋·a12

a1)≥a3a1a2＝(a1＋a2＋…＋an)2，

a2a2a212n故＋＋…＋≥a1＋a2＋…＋an. a2a3a1规律方法

柯西不等式的应用：柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，但我们在使用柯西不等式解决问题时，往往不能直接应用，需要先对式子的形式进行变化，拼凑出与柯西不等式相似的结构，继而达到使用柯西不等式的目的．在应用柯西不等式求最值时，不但要注意等号成立的条件，而且要善于构造，技巧如下：

①巧拆常数；

②重新安排某些项的次序；

③结构的改变从而达到使用柯西不等式；

④添项．

1跟踪演练3

已知a、b、c、d∈R＋，且a＋b＋c＋d＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2≥. 4证明

根据柯西不等式，有

(a2＋b2＋c2＋d2)(12＋12＋12＋12)≥(a＋b＋c＋d)2＝1，

1∴a2＋b2＋c2＋d2≥. 411当且仅当a＝b＝c＝d＝时，等号成立．此时，a2＋b2＋c2＋d2取到最小值. 44

1．已知x＋3y＋5z＝6，则x2＋y2＋z2的最小值为(

) 6636A.

B.

C.

D．6 53535答案

C

解析

∵x＋3y＋5z＝6，(x2＋y2＋z2)(12＋32＋52) 36≥(x＋3y＋5z)2＝36，∴(x2＋y2＋z2)≥. 351492．已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1，则＋＋的最小值为(

) xyzA．24

B．30 C．36

D．48 答案

C 149解析

利用柯西不等式，(x＋y＋z)x＋y＋z

123≥x·＋y·＋z·2＝36，

xyz14911111∴＋＋≥36，当且仅当x2＝y2＝z2，即x＝，y＝，z＝时等号成立．

xyz496323．已知实数a，b，c，d，e满足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16，则e的取值范围为________．

160，

答案

5解析

4(a2＋b2＋c2＋d2)＝(1＋1＋1＋1)(a2＋b2＋c2＋d2)≥(a＋b＋c＋d)2，

即4(16－e2)≥(8－e)2，即64－4e2≥64－16e＋e2. 16∴5e2－16e≤0，故0≤e≤. 5184．已知x2＋2y2＋3z2＝，求3x＋2y＋z的最大值．

17

解

(x2＋2y2＋3z2)32＋22＋12

31≥3x＋2y·2＋3z·2＝(3x＋2y＋z)2，

3∴(3x＋2y＋z)2

32＋22＋≤(x2＋2y2＋3z2)·12＝12. 3∴3x＋2y＋z≤23. x当且仅当＝y＝3z时等号成立，

3此时3x＋2y＋z的最大值为23.

2222221.柯西不等式的一般结构为(a21＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)，在利用柯西不等式证明不等式时关键是正确构造左边的两个数组，从而利用题目的条件正确解题．

2．要求ax＋by＋z的最大值，利用柯西不等式(ax＋by＋z)2≤(a2＋b2＋12)(x2＋y2＋z2)的形式，再结合已知条件进行配凑，是常见的变形技巧．对于许多不等式问题，用柯西不等式来解往往是简明的，正确理解柯西不等式，掌握它的结构特点，就能更灵活地应用它.