小结教学设计(第二课时)

高中数学选修2-3第三章 统计案例

独立性检验

开封市第二实验高中

石德军

为人师表

教书育人

§3.2 独立性检验

一、教学目标

1、通过本节知识的学习，了解独立性检验的基本思想和初步应用，能对两个分类变量是否有关做出明确的判断。

2、通过对典型案例的研究，了解独立性检验（只要求2X2列联表）的基本思想、方法、步骤及应用。

3.鼓励学生体验用多种方法解决同一问题并对多种方法进行比较。

4.让学生对统计方法有更深刻的认识，体会统计方法应用的广泛性，进一步体会科学的严谨性。

二、教学重点、难点

教学重点：

1. 独立性检验的基本方法；

2、独立性检验的步骤。

教学难点:

1、独立性检验的基本思想的领会及方法应用；

2、了解随机变量K2的含义；

三、教学过程

1．创设情境，提出问题

创设情境：网络对现代人的生活影响较大，尤其对青少年，为了解网络对中学生学习成绩的影响，某地区教育主管部门从辖区中随机抽取了1000人调查，发现其中经常上网的有200人，这200人中有80人期末考试不及格，而另外800人中有120人不及格，；见下表：

常上网

不常上网

总计

不及格

80 120 200 及格

120 680 800 总计

200 800 1000 变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量。像这样汇总两分类变量频数的统计表，并且每个分类变量只取两个值的列联表称为2X2列联表，

根据以上收集到的信息，问：中学生经常上网是否影响学习，为什么？能否在犯错概率不超过0.01的前提下认为常上网与不及格有关系？

假设H0:常上网与不及格没有关系；用A表示常上网；用B表示不及格；若H0成立事件A与事件B独立P(AB)P(A)P(B)

2．新知讲解：

提出问题：对于数据如果具有一般性的时候，分别设他们为a,b,c,d，在假设H0成2 超越自我

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立的条件下，能推导出a,b,c,d有怎样的关系？

常上网

不常上网

总计

不及格

及格

b

总计

ab

a

c d

bd

cd

abcd

ac

在假设H0成立的条件下，可以通过求常上网的学生占总数与不及格的学生占总人数的概率（用频率估计概率），将各类人群的估计人数用a,b,c,d,n表示出来，a恰好为事件AB发生的频数；ab和ac恰好分别为事件A和B发生的频数。由于频率接近于概率，所以在H0成立的条件下应该有：

abaca132P(A),P(B),P(AB).求的：P(A),P(B),P(AB). nnn52025aabac,(nabcd),可得：(abcd)a(ab)(ac). nnn即：adbc，因此，|adbc|越小，说明常上网与不及格之间的关系越弱，否则，关系越强。

为了使不同样本的数据有一个统一而又合理的评判标准，统计学家们经过研究后构n(adbc)2造了一个随机变量K=,(nabcd)则我们通过利用上面(ab)(ac)(cd)(bd)2的公式可以求出K2的观测值：k62.5. 同时统计学家们还得到了如下的卡方临界值表：

P(K2≥k0) k0

0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 以k=62.635为例，就是说在H0成立的条件下，计算出随机变量K2P(K26.635)0.01，的观测值大于等于6.635的概率不超过0.01，也就是有99%的情况下其观测值是小于6.635的。

上面这种利用随机变量K来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验。

一般地，假设有两个分类变量X与Y，它们的取值分别为x1,x2和y1,y2，其样本频率列联表（即22列联表）为：

23 超越自我

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y1

y2

b

总计

ab

x1

a

c x2

总计

1.画（列联表）; d

bd

cd

abcd

ac

要推断“X与Y有关系”，可以通过频率估计概率进行直观判断，再按下面的步骤进行：

2.算（根据2×2列联表与公式计算K的观测值——k）；

3比（.如果kk0，就可以推断“两个分类变量有关系”，否则无关，最后做出判断）。

3．例题讲解

例1为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在我校学生中随机抽取300名学生，得到如下列联表：

男

女

总计

程之间有关系吗？

解：可以有95%以上的把握认为“性别与喜欢数学课程之间有关系”。

300(371438535)2n(adbc)2=K4.514 72228122172(ab)(ac)(cd)(bd)22喜欢数学课程

不喜欢数学课程

37 35 72 85 143 228 总计

122 178 300 由表中数据计算K2的观测值。能够以95%的把握认为高中生的性别与是否喜欢数学课P(K23.841)0.05

因此应该断定“性别与喜欢数学课程之间有关系”成立，并且这种判断结果出错的可能性约为5%，所以，约有95%的把握认为“性别与喜欢数学课程之间有关系”。

例2．在500人身上试验某种血清预防感冒的作用，把他们一年中的感冒记录与另外500名未用血清的人的感冒记录作比较，结果如表所示．问：该种血清能否起到预防感冒的作用？

使用血清

未使用血清

总计

未感冒

258 216 474 4 感冒

242 284 526 总计

500 500 1000 超越自我

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分析：在使用该种血清的人中，有种血清的人中，有24248.4%的人患过感冒；在没有使用该50028456.8%的人患过感冒，使用过血清的人与没有使用过血清的人500的患病率相差较大．从直观上来看，使用过血清的人与没有使用过血清的人的患感冒的可能性存在差异．

解：提出假设H0：感冒与是否使用该种血清没有关系．由列联表中的数据，求得1000(258284242216)2K7.075

4745265005002∵当H0成立时，K26.635的概率约为0.01，∴我们有99%的把握认为：该种血清能起到预防感冒的作用．

4．练习：课本第97页

练习．

四、回顾小结：

1．分类变量及列联表

2．独立性检验的思想方法及一般步骤；

3．随机变量K2的含义．

五、课外作业：

课本第97页

习题3.2

第1、2题．

附:板书设计：

§3.2

独立性检验

……

一、分类变量

例1、

二．列联表

三、独立性检验

1、定义：

例2、

多

2、观测值计算公式

媒

练习：

2体

n(adbc)K2=,(n

abcd)

演

(ab)(ac)(cd)(bd)示

0

03、独立性检验的步骤：10 3

2

5 超越自我

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