1.1 回归分析的基本思想及其初步应用课件配套优秀

[学习目标]

1.了解随机误差、残差、残差图的概念.2.会通过分析残差判断线性回归模型的拟合效果.3.掌握建立线性回归模型的步骤．

知识点一

线性回归方程

1．回归分析

(1)函数关系：函数关系是一种确定性的关系．例如正方形的周长C＝4a，周长C与边长a之间就是一种确定性关系，对于自变量(边长)的每一个确定的值，都有唯一确定的周长与之相对应．

(2)相关关系：当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系叫作相关关系．相关关系是一种非确定性关系．

回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法叫作回归分析．

2．线性回归方程

对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，回归直线y＝bx＋a的斜^率和截距的最小二乘估计公式分别为b＝i＝1

xi－xyi－yxiyi－nx

yi＝1nn＝i＝1^^，a＝y－bi＝1

xi－x2nxi2－nxn2x，其中(x，y)称为样本点的中心．

思考1

确定线性回归方程，只需得出哪两个量？

答案

确定线性回归方程，只需确定a，b两个量即可．

思考2

回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值一定是真实值吗？

答案

不一定是真实值，利用线性回归方程求的值，在很多时候是个预报值，例如，人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除了受身高的影响外，还受其他因素的影响，如饮食、是否喜欢运动等．

知识点二

残差的概念

对于样本点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)而言，它们的随机误差为ei＝yi－bxi－a，i＝1,2，…，

^^^^^n，其估计值为ei＝yi－yi＝yi－bxi－a，i＝1,2，…，n，ei称为相应于点(xi，yi)的残差．

知识点三

刻画回归效果的方式

1．残差图法

作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高．

2．残差平方和法

n^残差平方和

(yi－yi)2，残差平方和越小，模型拟合效果越好．

i＝13．利用R2刻画回归效果

i＝1

yi－yi2；R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率．R2越接近于1，表示回n^R＝1－2i＝1

yi－y2n归的效果越好．

题型一

求线性回归方程

例1

在一段时间内，某种商品的价格x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据为：

价格x 需求量y (1)画出散点图；

(2)求出y对x的线性回归方程；

(3)如果价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少．

解

(1)散点图如图所示．

1.4

12

1.6

10

1.8

7

2

5

2.2 3

^^(2)采用列表的方法计算a与b. 序号

1

xi

1.4

yi

12

x2i

1.96

xiyi

16.8

2

3

4

5

∑

1x＝×9＝1.8，

51y＝×37＝7.4，

51.6

1.8

2

2.2

9

10

7

5

3

37

2.56

3.24

4

4.84

16.6

16 12.6 10 6.6 62 ^b＝i＝1xiyi－5x

yxi2－5x52562－5×1.8×7.4＝＝－11.5，

16.6－5×1.82i＝1^^a＝y－bx＝7.4＋11.5×1.8＝28.1，

^^^所以y对x的线性回归方程为y＝a＋bx＝28.1－11.5x. ^(3)当x＝1.9时，y＝28.1－11.5×1.9＝6.25(t)，

所以价格定为1.9万元时，需求量大约是6.25 t. 反思与感悟

求线性回归方程可分如下几步来完成：第一步，列表表示xi，yi，x2i，xiyi；第nn^^二步，计算x，y，x2，xiyi；第三步，代入公式计算a，b的值；第四步，写出线性回ii＝1i＝1归方程．

跟踪训练1

某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：

x y 6

2

8

3

10

5

12 6 (1)请画出上表数据的散点图(要求：点要描粗)；

^^^(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；

(3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．

解

(1)如图：

n(2)∑xiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，

＝i1

6＋8＋10＋12x＝＝9，

42＋3＋5＋6y＝＝4，

4i12222∑x2i＝6＋8＋10＋12＝344，

＝n^158－4×9×414b＝＝＝0.7，

20344－4×92^^a＝y－bx＝4－0.7×9＝－2.3，

^故线性回归方程为y＝0.7x－2.3. ^(3)由(2)中线性回归方程当x＝9时，y＝0.7×9－2.3＝4，预测记忆力为9的同学的判断力约为4. 题型二

线性回归分析

例2

为研究重量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，对不同重量的6个物体进行测量，数据如下表所示：

x y 5

7.25

10

8.12

15

8.95

20

9.90

25

10.9

30 11.8 (1)作出散点图并求线性回归方程；

(2)求出R2;

(3)进行残差分析．

解

(1)散点图如图

1x＝(5＋10＋15＋20＋25＋30)＝17.5，

61y＝(7.25＋8.12＋8.95＋9.90＋10.9＋11.8)≈9.487，

662xi＝2 275，xiyi＝1 076.2 i＝1i＝16^^计算得，b≈0.183，a≈6.285，

^所求线性回归方程为y＝0.183x＋6.285. (2)列表如下：

^yi－yi

0.05

0.005

－0.08

－0.045

0.04

0.025

yi－y

6－2.24

－1.37

－0.54

0.41

1.41

2.31 6^2所以

(yi－yi)≈0.013 18，

(yi－y)2＝14.678 4. i＝1i＝10.013 18所以，R2＝1－≈0.999 1，

14.678 4回归模型的拟合效果较好．

(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正数据，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与拉力成线性关系．

反思与感悟

在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相^^^关，是否可以用线性回归模型来拟合数据．然后，通过残差e1，e2，…，en来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据．若残差点比较均匀地分布在水平带状区域内，带状区域越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程预报精度越高．

跟踪训练2

已知某种商品的价格x(单位：元/件)与需求量y(单位：件)之间的关系有如下一组数据：

x y 14

12

16

10

18

7

20

5

22 3 求y对x的线性回归方程，并说明回归模型拟合效果的好坏．

1解

x＝(14＋16＋18＋20＋22)＝18，

51y＝(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，

522222x2i＝14＋16＋18＋20＋22＝1 660，

5i＝1i＝122222y2i＝12＋10＋7＋5＋3＝327，

5i＝1xiyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，

55^所以b＝i＝1xiyi－5x

yxi2－5x52620－5×18×7.4＝＝－1.15，

1 660－5×182i＝1

^a＝7.4＋1.15×18＝28.1，

^所以所求线性回归方程是y＝－1.15x＋28.1. 列出残差表：

^yi－yi

yi－y

^所以

(yi－yi)2＝0.3，

i＝150

4.6

0.3

2.6

－0.4

－0.4

－0.1

－2.4

0.2 －4.4 i＝1

(yi－y)2＝53.2，

55i＝1

yi－yi2≈0.994，

^R＝1－2i＝1

yi－y25所以回归模型的拟合效果很好．

题型三

非线性回归分析

例3

下表为收集到的一组数据：

x y 21

7

23

11

25

21

27

24

29

66

32

115

35 325 (1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系；

(2)建立x与y的关系，预报回归模型并计算残差；

(3)利用所得模型，预报x＝40时y的值．

解

(1)作出散点图如下图，从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y＝

c

1

e

c

2x

的周围，其中c1，c2为待定的参数．

(2)对两边取对数把指数关系变为线性关系，令z＝ln y，则有变换后的样本点应分布在直线z＝bx＋a(a＝ln c1，b＝c2)的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程了，数据可以转化为

x 21

23

25

27

29

32

35

z 1.946

2.398

3.045

3.178

4.190

4.745

5.784 ^求得线性回归方程为z＝0.272x－3.849，

^－∴y＝e0.272x3.849. 残差

yi

^yi

^ei

7

6.443

0.557

11

11.101

－0.101

×40－3.84921

19.125

1.875

≈1 131. 24

32.950

－8.950

66

56.770

9.23

115

128.381

－13.381

325 290.325 34.675 (3)当x＝40时，y＝e0.272反思与感悟

解决非线性回归问题的方法及步骤

(1)确定变量：确定解释变量为x，预报变量为y；

(2)画散点图：通过观察散点图并与学过的函数(幂、指数、对数函数、二次函数)作比较，选取拟合效果好的函数模型；

(3)变量置换：通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题；

(4)分析拟合效果：通过计算相关指数等来判断拟合效果；

(5)写出非线性回归方程．

跟踪训练3

为了研究甲型H1N1中的某种细菌随时间x变化的繁殖个数y，收集数据如下：

天数x 繁殖个数y 求y对x的回归方程．

解

作出散点图如图(1)所示．

1

6

2

12

3

25

4

49

5

95

6 190

由散点图看出样本点分布在一条指数型曲线y＝cebx的周围，则ln y＝bx＋ln c. 令z＝ln y，a＝ln c，则z＝bx＋a. x z 1

1.79

2

2.48

3

3.22

4

3.89

5

4.55

6 5.25 相应的散点图如图(2)所示．从图(2)可以看出，变换后的样本点分布在一条直线附近，因此可以用线性回归方程来拟合．由表中数据得到线性回归方程为z＝0.69x＋1.112.因此细菌的繁殖个数对温度的非线性回归方程为y＝e0.69x＋1.112.

忽视线性相关性的分析致误

例4

在一次抽样调查中测得变量x与y的一组样本数据如下表：

x y 试建立y与x之间的回归方程．

错解

由已知条件制成下表：

i 1

2

3

4

5

∑

所以x＝1.55，y＝7.2，

xi

0.25

0.5

1

2

4

7.75

yi

16

12

5

2

1

36

xiyi

4

6

5

4

4

23

x2i

0.062 5 0.25 1 4 16 21.312 5 0.25

16

0.5

12

1

5

2

2

4 1 ^所以b＝i＝1xiyi－5xyxi2－5x52523－5×1.55×7.2＝≈－3.53，

21.312 5－5×1.552i＝1^^a＝y－b

x≈7.2＋3.53×1.55≈12.67. ^故所求的y与x之间的回归方程为y＝－3.53x＋12.67. 错因分析

本题直接取已知数据求线性回归方程，没有画出散点图或求相关系数r进行相关性检验，而本题的两个变量恰好不具有线性相关关系．根据散点图可以发现样本点分布在某1一条反比例函数曲线的附近，易知y与呈线性相关关系．

x正解

根据收集的数据作散点图(如图(1)所示)．由图可知样本点分布在某一条反比例函数曲1线的附近，令t＝，则原数据变为：

x

图(1) t 4

2

1

0.5

0.25

y 16

12

5

2

1 由散点图(如图(2)所示)可以看出y与t呈近似的线性相关关系．

图(2) 列表如下：

i 1

2

3

4

5

∑

所以t＝1.55，y＝7.2. ti

4

2

1

0.5

0.25

7.75

yi

16

12

5

2

1

36

tiyi

64

24

5

1

0.25

94.25

t2i

16 4 1 0.25 0.062 5 21.312 5 ^所以b＝i＝1tiyi－5tyt2i－5t52594.25－5×1.55×7.2＝≈4.134 4，

21.312 5－5×1.552i＝1^^a＝y－b

t≈7.2－4.134 4×1.55≈0.791 7. ^故y与t之间的回归方程为y＝4.134 4t＋0.791 7，

^4.134 4所以y与x之间的回归方程是y＝＋0.791 7. x点评

在解决回归分析的问题时，首先要对两个变量间的相关性进行分析，一要看它们是否相关，二要看它们是否是线性相关，如果它们不具有相关关系或不具有线性相关关系，即使求出线性回归方程，也没有任何意义．