1.3 二项式定理（通用）教学设计一等奖

1.3

二项式定理

1．3.1

二项式定理

1．能用计数原理证明二项式定理．(重点) 2．能记住二项式定理和二项展开式的通项公式．(重点) 3．能解决与二项式定理有关的简单问题．(重点、难点)

[基础·初探] 教材整理

二项式定理

阅读教材P29～P31，完成下列问题．

1．二项式定理

0nn－11n－kknn(1)公式(a＋b)n＝Cna＋C1b＋…＋Ckb＋…＋Cnb(n∈N*)叫做二项nana式定理．

(2)(a＋b)n的二项展开式共有n＋1项，其中各项的系数Ckn(k＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．

2．二项展开式的通项

n－kk(a＋b)n的二项展开式中的Ckb叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，nankk即通项为展开式的第n＋1项：Tk＋1＝Ckb. na－温馨提示：二项式系数Crn与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，项的系数与二项式、二项式的指数及项数均有关．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

1

(1)(a＋b)n展开式中共有n项．(

) (2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．(

) n－kk(3)Ckb是(a＋b)n展开式中的第k项．(

) na(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．(

) 【解析】

(1)×

因为(a＋b)n展开式中共有n＋1项．

n－kkn(2)×

因为二项式的第k＋1项Ckb和(b＋a)n的展开式的第k＋1项Cknanb－kak是不同的，其中的a，b是不能随便交换的．

n－kk(3)×

因为Ckb是(a＋b)n展开式中的第k＋1项．

na(4)√

因为(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数都是Crn. 【答案】

(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

[小组合作型]

二项式定理的正用、逆用

32x－2x2；

(1)用二项式定理展开0n－12n－k(2)化简：Cn(x＋1)n－C1＋Cn(x＋1)n－2－…＋(－1)kCk＋…＋n(x＋1)n(x＋1)5(－1)nCnn. 【精彩点拨】

(1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．

33351452x－2x2＝C0－－2【自主解答】

(1)(2x)＋C(2x)·＋…＋C5552x22x

180135405243＝32x5－120x2＋x－x4＋8x7－32x10. 0n－1n－2n－(2)原式＝Cn(x＋1)n＋C1(－1)＋C2(－1)2＋…＋Ckn(x＋1)n(x＋1)n(x＋1)kn(－1)k＋…＋Cn(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn. 55

2

1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．

2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．

3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项幂指数的规律以及各项的系数．

[再练一题] 13x－1．(1)求二项式x的展开式；

(2)化简(x－2)5＋5(x－2)4＋10(x－2)3＋10(x－2)2＋5(x－2).

【导学号：29472028】

13x－【解】

(1)x

11110413－22－34－－＝C4(3x)＋C4(3x)x＋C4(3x)x＋C4(3x)x＋C4x42344

121＝81x2－108x＋54－x＋x2. 042332450(2)原式＝C5(x－2)5＋C15(x－2)＋C5(x－2)＋C5(x－2)＋C5(x－2)＋C5(x－2)－1 ＝[(x－2)＋1]5－1＝(x－1)5－1.

二项式系数与项的系数问题

12x－

(1)求二项式x的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；

1x－x的展开式中x3的系数．

(2)求【精彩点拨】

利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．

【自主解答】

(1)由已知得二项展开式的通项为Tr＋1

3 96

∴第6项的二项式系数为C56＝6，

第6项的系数为C5(－1)·2＝－12. 6·19－rrr9－2r－(2)Tr＋1＝Crx·＝(－1)·Cx，

99·x3∴9－2r＝3，∴r＝3，即展开式中第四项含x3，其系数为(－1)3·C9＝－84. r

1．二项式系数都是组合数Ckn(k∈{0,1,2，…，n})，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．

2．第k＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为737－3Ck(2x)3，其二项式系数是C3n.例如，在(1＋2x)的展开式中，第四项是T4＝C7173＝35，而第四项的系数是C372＝280.

[再练一题] a3x－的展开式中含x的项的系数为30，则a＝(

) 2．(1)已知x2A.3

C．6

B．－3 D．－6 51(2)设(x－2)n展开式中，第二项与第四项的系数之比为2，则含x2的项是________．

－ar5－rr＝Cr【解析】

(1)Tr＋1＝C5(x)·5(－a)xx＝1.由C15(－a)＝30，得a＝－6.故选D. n－1n－(2)(x－2)n展开式的第二项与第四项分别为T2＝C1(－2)＝－2C1nxnx1n－3n－3，T4＝C3(－2)3＝－22C3. nxnxr5－2r3，由2＝2，解得r

4

－2C11n2依题意得＝32，即n－3n－4＝0，解得n＝4(舍去n＝－1)．

－22Cn4－r设(x－2)4展开式中含x2的项为第r＋1项，则Tr＋1＝Cr(－2)r.由4－r4x22＝2，得r＝2，即(x－2)4展开式中含x2的项为T3＝C4x(－2)2＝12x2. 【答案】

(1)D

(2)12x2

[探究共研型]

求展开式中的特定项

1x＋探究1

如何求x展开式中的常数项．

4－r1r4－2r【提示】

利用二项展开式的通项Crx·求解，令4－2r＝0，则r＝C4x4x4124×3x＋r＝2，所以x展开式中的常数项为C4＝2＝6. 探究2

(a＋b)(c＋d)展开式中的每一项是如何得到的？

【提示】

(a＋b)(c＋d)展开式中的各项都是由a＋b中的每一项分别乘以c＋d中的每一项而得到．

1x＋x(2x＋1)3展开式中含x的项？

探究3

如何求111x＋x(2x＋1)3展开式中含x的项是由x＋中的x与分别与(2x【提示】

xx21222＋1)3展开式中常数项C3C33＝1及x项C32x＝12x分别相乘再把积相加得x·3＋41112x＋x(2x＋1)3展开式中含x的项为13x. ·C3(2x)＝x＋12x＝13x.即x33n

已知在x－3的展开式中，第6项为常数项．

x(1)求n；

(2)求含x2项的系数；

(3)求展开式中所有的有理项．

5

【自主解答】

通项公式为：

(1)∵第6项为常数项，

n－2r∴r＝5时，有3＝0，即n＝10. (2)令10－2r1＝2，得r＝32(10－6)＝2，

2∴所求的系数为C210(－3)＝405. 10－2r3∈Z，(3)由题意得，0≤r≤10，r∈Z.

令10－2r3＝k(k∈Z)，

3则10－2r＝3k，即r＝5－2k. ∵r∈Z，∴k应为偶数，

k＝2,0，－2，即r＝2,5,8，

所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，

－61 236,295 245x－2.

1．求二项展开式的特定项的常见题型

－1n－k＋1k－1(1)求第k项，Tk＝Ckb；

na(2)求含xk的项(或xpyq的项)；

(3)求常数项；

(4)求有理项．

6

2．求二项展开式的特定项的常用方法

(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；

(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；

(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．

[再练一题] 3．(1)在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是________．

a(2)若x－x2展开式的常数项为60，则常数a的值为________.

【导学号：29472029】

【解析】

(1)x5应是(1＋x)10中含x5项、含x2项分别与1，－x3相乘的结果，

2∴其系数为C510＋C10(－1)＝207. 6ak6－kx－(2)·

2的展开式的通项是Tk＋1＝C6xx6－3k(－a)kx－2k＝Ck(－a)k，令6－3k＝0，得k＝2，即当k＝2时，Tk＋1为6x6常数项，即常数项是C26a，

根据已知得C26a＝60，解得a＝4. 【答案】

(1)207

(2)4

1．化简(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1得(

) A．(x－1)4

C．(x＋1)4

B．x4

D．x5

【解析】

原式＝[(x－1)＋1]4＝x4. 【答案】

B

7

x18－2．在23的展开式中常数项是(

) xA．－28

C．7

B．－7 D．28 1kx148－k－kk8－k【解析】

Tk＋1＝Ck··＝(－1)·C··x8－k，

828233x1466当8－3k＝0，即k＝6时，T7＝(－1)·C8·2＝7. 【答案】

C 212x－x的展开式中，中间项是________．

3．在【解析】

由n＝6知中间一项是第4项，

1233333－因为T4＝C3(2x)·＝C·(－1)·2·x，

66x所以T4＝－160x3. 【答案】

－160x3

21x－2x的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系4．在数是________.

【导学号：29472030】

【解析】

39362kkk18－3k29－k－－C9·Tk＋1＝Ck·(x)·x，当92x＝2·111－k＝3时，T4＝2212139·C9·x＝－2x9，所以第4项的二项式系数为C3＝84，项的系数为－92. 21【答案】

84

－2

32x＋3x2的展开式的第三项的系数和常数项．

5．求【解】

通项2332452T3＝C2(x)＝C55·x，所以第三项的系数为3x92222440C5·9＝9. 5kkk15－5k35－kC5x2Tk＋1＝Ck(x)，令53x＝3·15－5k＝0，得k＝3，所以常数

8

2380322项为T4＝C3(x)·53x＝27.

9