1.1 回归分析的基本思想及其初步应用教学内容概述

1.1回归分析的基本思想及其初步应用

学习目标

1.了解随机误差、残差、残差图的概念. 2.2.会通过分析残差判断线性回归模型的拟合效果. 3.3.掌握建立线性回归模型的步骤. 教学过程

一、课前预习

一台机器由于使用时间较长，生产的零件中一些会有缺陷.按不同转速生产出有缺陷的零件的统计数据如下：

转速x(转/秒)

每小时生产有缺

陷的零件数y(件)

思考1

在平面直角坐标系中作出散点图. 思考2

从散点图中判断x和y之间是否具有相关关系. 思考3

若转速为10转/秒，能否预测机器每小时生产缺陷的零件件数？

回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法. 回归分析基本步骤为画散点图，求线性回归方程，用线性回归方程进行预报. 知识点二

线性回归分析

思考1

利用求得的回归方程进行预报，为什么得到的预报值和实际值并不相同？

思考2

回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值一定是真实值吗？

思考3

给出两个变量的回归方程，怎样判断拟合效果的好坏？

类型一

线性回归方程

例1

假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费y(万元)有如下的统计资料：

x y 2

2.2

3

3.8

4

5.5

5

6.5

6 7.0 16

11

14

9

12

8

8

5 若由资料可知，y对x呈线性相关关系. (1)求线性回归方程；

(2)估计使用年限为10年时，维修费用多少万元？

反思与感悟

(1)求线性回归方程的一般步骤

①作出散点图，依据问题所给的数据在平面直角坐标系中描点，观察点的分布是否呈条状分

布，即是否在一条直线附近，从而判断两变量是否具有线性相关关系. ^^②当两变量具有线性相关关系时，求回归系数a、b，写出线性回归方程. ^^^^^^(2)线性回归方程y＝a＋bx中的b表示x每增加1个单位时，y的变化量的估计值为b. ^^^可以利用线性回归方程y＝a＋bx预报在x取某个值时y的估计值. ^^由于回归直线中的系数a和b是通过样本估计而来的，存在着误差，这种误差可能导致预报结果有偏差. 跟踪训练1

表中提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(t)与相应的生产能耗y(t)的几组对应数据：

x y 3

2.5

4

t 5

4

^6 4.5 根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为y＝0.7x＋0.35，那么表中t的值为(

) A.3

B.3.15

C.3.5

D.4.5 类型二

线性回归分析

例2

某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下：

次数(x)

成绩(y)

(1)作出散点图；

(2)求出线性回归方程；

(3)作出残差图，并说明模型的拟合效果；

(4)计算R2，并说明其含义.

^^30

30

33

34

35

37

37

39

39

42

44

46

46

48

50 51 总结：(1)线性回归方程能定量地描述两个变量的关系，系数a，b刻画了两个变量之间的变化^趋势，其中b表示x变化一个单位时，y的平均变化量.利用回归直线可以对问题进行预测，由一个变量的变化去推测另一个变量的变化. (2)“R2、残差图”在回归分析中的作用. ①R2是用来刻画回归效果的，R2越大，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果就越好. ②残差图也是用来刻画拟合效果的，判断依据是：残差点比较均匀地分布在水平的带状区域中，带状区域越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程预报精度越高. 跟踪训练2

已知某种商品的价格x(元)与需求量y(件)之间的关系有如下一组数据：

x 14

16

18

20

22

y

12

10

7

5

3 求y关于x的线性回归方程，并说明回归模型拟合效果的好坏.

随堂练习

1.已知回归方程y＝2－2.5x，当变量x增加一个单位时(

) A.y平均增加2.5个单位

B.y平均增加2个单位

C.y平均减少2.5个单位

D.y平均减少2个单位

2.在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的R2的值如下，其中拟合效果最好的模型是(

) A.模型1的R2为0.98

B.模型2的R2为0.80 C.模型3的R2为0.50

D.模型4的R2为0.25 3.已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关.下列结论中正确的是(

) A.x与y正相关，x与z负相关

B.x与y正相关，x与z正相关

C.x与y负相关，x与z负相关

D.x与y负相关，x与z正相关

4.为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做100次和150次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2.已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t.那么下列说法正确的是(

) A.直线l1和l2有交点(s，t)

B.直线l1和l2相交，但是交点未必是点(s，t) C.直线l1和l2由于斜率相等，所以必定平行

D.直线l1和l2必定重合

5.已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4,5)，则线性回归方程是________________. 课堂小结

求线性回归方程的步骤: 1.确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量. 2.画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等). ^^^3.由经验确定回归方程的类型(如果呈线性关系，则选用线性回归方程y＝bx＋a). 4.按一定规则估计回归方程中的参数. 5.得出结果后分析残差图是否有异常

作业布置：完成明白卡