一 数学归纳法教学设计第二课时

课题:数学归纳法

一、教学目标：

1．了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。

2．掌握数学归纳法证明问题的方法。

3．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

二、教学重点：掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法。

难点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

三、教学过程：

【创设情境】

1．华罗庚的“摸球实验”。

2．“多米诺骨牌实验”。

问题：如何保证所摸的球都是红球？多米诺骨牌全部倒下？处了利用完全归纳法全部枚举之外，是否还有其它方法？

数学归纳法：数学归纳法实际上是一种以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷的归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是处理自然数问题的有力工具。

【探索研究】

1．数学归纳法的本质：

无穷的归纳→有限的演绎（递推关系）

2．数学归纳法公理：

（1）（递推奠基）：当n取第一个值n0结论正确；

（2）（递推归纳）：假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确；（归纳假设）

证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）

由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。

【例题评析】

例1：以知数列{an}的公差为d，求证：ana1(n1)d

说明：①归纳证明时，利用归纳假设创造递推条件，寻求f(k+1)与f(k)的递推关系，是解题的关键。

②数学归纳法证明的基本形式；

（1）（递推奠基）：当n取第一个值n0结论正确；

（2）（递推归纳）：假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确；（归纳假设）

证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）

由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。

EX: 1.判断下列推证是否正确。

P88

2,3 2. 用数学归纳法证明

1427310n(3n1)n(n1)

2

例2：用数学归纳法证明∈N,n≥2) 1111(nn1n23n1说明：注意从n=k到n=k+1时,添加项的变化。

EX:1.明:1用数学归纳法证11123411112n12nn1n21

2n(1)当n=1时,左边有_____项,右边有_____项；

(2)当n=k时,左边有_____项,右边有_____项；

(3)当n=k+1时,左边有_____项,右边有_____项；

(4)等式的左右两边,由n=k到n=k+1时有什么不同?

变题:

用数学归纳法证明

例3：设f(n)=1+(n∈N,n≥2) 1112n1

(n∈N+)

222111,求证n+f(1)+f(2)+…f(n-1)=nf(n)

23n说明：注意分析f(k)和f(k+1)的关系。

【课堂小结】

1．数学归纳法公理：

（1）（递推奠基）：当n取第一个值n0结论正确；

（2）（递推归纳）：假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确；（归纳假设）

证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）

由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。

2.

注意从n=k到n=k+1时,添加项的变化。利用归纳假设创造递推条件，寻求f(k+1)与f(k)的递推关系.

【反馈练习】

1．用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证(

) A n=1

B n=2

C n=3

D n=4 2．用数学归纳法证明1112312n1nnN且n1第二步证明从“k到k+1”，左端增加的项数是(

)

A. 2k1

B 2k1

C 2k

D 2k1

3．若n为大于1的自然数，求证

11113

n1n22n24证明 (1)当n=2时，11713

2122122411113

k1k22k24(2)假设当n=k时成立，即则当nk1时,1111111k2k32k2k12k2k1k1131111311242k12k2k1242k12k213113242(2k1)(k1)24

4．用数学归纳法证明n1n2nn2n132n1,nN

【课外作业】

《课标检测》