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基本不等式构造“定”的技巧

用基本不等式求函数的最值是高中数学的一个重点，也是近几年高考的一个热点。使用基本不等式的三个条件“一正二定三相等”更是考题的焦点。“正”和“相等”通常很容易获得解决，“定”却常常被设计为一个难点，怎样构造“定”是解题成败的关键。今天我们就教你构造“定”的技巧！

总体思路

我们先看一下基本不等式：

a1a2...anna1a2...an（当且仅当a1a2...an时取等号）

n下面我们看看具体怎样来构造“定”这个条件：

第一步：“一正二定三相等”，先判断是否“正”能够满足。一般题目已知中会告诉各字母是正的，所以通常这个条件是满足的。

第二步：观察所求函数的形式：例如函数是a11a22...ann，则在已知条件中将a1等分拆为k1项，将a2等分拆为k2项，将an等分拆为kn项。

这就是我们拆分构造“定”的关键，记住了，我们是从所求函数的形式出发，只要做好了这一步，基本不等式就能用的恰到好处！

第三步：验证，看各项相等时能否成立，若能成立，则基本不等式运用成功，若不成立，则只好再想别的辙了：）不过一般情况下绝对不会出现不成功的，题目想考的就是这个嘛！

例：设x，y，z>0，且x+3y+4z=6，求xyz的最大值。

思路：

一看题目，已知和，求积，看来可以运用基本不等式。

过程：

第一步：题目中已经说了x，y，z>0，所以可以运用基本不等式。

第二步：所求函数是(x1)(y2)，所以我们应将已知条件中x拆为2项：223kkkxx，将3y拆为3项：yyy，4z拆为一项：4z。

22第三步：运用基本不等式; 6=x3y4z23xxyyy4z66x2y3z

22xy4z时取等号。

2

所以xyz1，当第四步：验证：当1。

x1y4z时，x=2，y=1，z=，可以取到，所以x2y3z得最大值是24小结：

通过这个题目，同学关键要记住拆分构造的方法，再强调一遍：例如函数是a1k1a2k2...ankn，则在已知条件中将a1等分拆为k1项，将a2等分拆为k2项，将an等分拆为kn项。；

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例题2 已知x>1，y>2，且x+y=15，求D= (x1)2(y2)的最大值。

思路：

一看题目，函数是(x1)2(y2)，看来好像不能运用基本不等式了。但记住我们所说的，从所求函数的形式出发，这里所求函数是(x1)2(y2)，我们把x-1看作a，y-2看作b，则题目变为了a>0，b>0，且a+b=12，求ab的最大值，怎么样，这个就能用了吧！

过程：

第一步：a>0，b>0，所以可以运用基本不等式。

第二步：所求函数是ab，所以我们应将已知条件中a拆为2项：项：b。

第三步：运用基本不等式; 12=ab222aa，将b拆为122aaaab33b

2222ab时取等号。

2

所以ab256，当

第四步：验证：当ab时，a=8，b=4，可以取到，所以a2b得最大值是256。

2提示：下面请同学们用这个办法试试下面几个题目，如果都没有问题，说明这个技巧你已经掌握了！祝你成功！

练习1 若正数a、b、c满足2a+3b+4c=6，求abc的最大值。

23练习2 已知x>1，y>1，且lgx+lgy=6，则(lgx)lgy的最大值是（）

（A）16 （B）32 （C）4 （D）21

4练习3 设x，y，z都是正数，且x+y+z=5，则lgxlgylgz的最大值是。

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