小结课堂实录【2】

复习专题：不等式

一、主要知识点：

1.一元二次不等式的解法

一元二次不等式ax2bxc0或ax2bxc0a0的解集：

设相应的一元二次方程ax2bxc0a0的两根为x1、x2且x1x2，b4ac，则不等式的解2的各种情况如下表：

0

0

0

二次函数

yax2bxc

yax2bxc

yax2bxc

yax2bxc

（a0）的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

axbxc02a0的根ax2bxc0(a0)的解集x1,x2(x1x2)

x1x2b

2a

无实根

xxx或xx12

bxx

2a



R ax2bxc0(a0)的解集2.基本不等式abxx1xx2



ab

2（1）．若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号.

（2）．如果a,b是正数，那么abab(当且仅当ab时取""号).

22ab变形：

有:a+b≥2ab；ab≤,当且仅当ab时取等号.

2（2）．如果a,b∈R+,a·b=P(定值),当且仅当a=b时,a+b有最小值2P;

S2如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),当且仅当a=b时,ab有最大值. 4注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”

二：典例讲解：

题型一：不等式的性质

1.对于实数a,b,c中，给出下列命题：

①若ab,则ac2bc2；

②若ac2bc2,则ab；

22

③若ab0,则aabb；

④若ab0,则11；

abba；

⑥若ab0,则ab；

ab11ab

⑦若cab0,则；

⑧若ab,，则a0,b0。

abcacb

⑤若ab0,则其中正确的命题是______ 112.已知,满足，试求3的取值范围. 123题型二：解不等式

1.解不等式

（1）

2x7x40

（2）25x1

2x2x3

2.解关于x的不等式ax(a1)x10

题型三：恒成立问题

1.

关于x的不等式a x2+ a x+1＞0 恒成立，则a的取值范围是_____________

22.

若不等式x2mx2m10对0x1的所有实数x都成立，求m的取值范围. 23.

已知x0,y0且

191，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围.

xy题型四：基本不等式ab1.（1）已知xab

25，求函数y4x21的最大值；（2）当0x4时，求yx(82x)的最大值. 44x5ab2.（1）若实数满足ab2，求33的最小值；（2）已知x0,y0，且191，求xy的最xy小值。

课后巩固练习：

1.已知xa0,则下列不等式一定成立的是( ) (A)xax0 (B)xaxa (C)xa0 (D)xaax

2.若a,bR且ab，则下列不等式恒成立的是( ) (A)a3ab2b (B)ababab

(C)a2b22(ab1) (D)325532232222222ab2

ba3.若ab0，则下列不等关系正确的是( ) (A) 1111 (B) (C)|a||b| (D)a2b2

ababa24.关于x的不等式axbx20的解集为,(A)-24 (B)24 (C)14 (D)-14 5.不等式11,，则ab的值为( ) 23xa0的解为：x3x1或x2，则a的值为( ) 2x4x31(A)a2 (B) (C)2 (D)a2

26.关于x的不等式(a2)x22(a2)x40的解集为{x|xR}，则a的取值范围为( ) (A),2 (B)(,2) (C) 2,2 (D) (2,2)

7.设a,bR，则下列不等式中不成立的是( ) 11a2b2(A)(ab)()4 (B) 2ab

abab(C)ab1ab2 (D)2abab

ab8.设a,bR且2ab1,S2ab4a2b2的最大值是( ) (A)21 (B)2121 (C)21 (D)

2229.已知f(x)axc满足4f(1)1,1f(2)5，则f(3)的取值范围为 . 2PQR，10.设P{x|x2x30}，若PQ(3,7]，则b= , Q{x|x2bxc0}，c= .

11.不等式x1x2的解集为 . x2x112.若0a1,0b1,且ab，则ab,2ab,a2b2,2ab中最大的是 . 13.已知A{x|xa0},B{x|x22ax3a20}，求AB及AB.

14.解下列不等式：

（1）3x7x60；（2）

15.解答下列问题：

(1)已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，求ab的最大值；

(2)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，求3x＋4y的最小值；

51(3)已知x＜，求f(x)＝4x－2＋的最大值；

44x－5(4)已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，求a的值．

16.某工厂生产某种产品，每日的成本C(单位：万元)与日产量x(单位：吨)满足函数关系式C＝3＋x，每日k3x＋x－8＋5，0

(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．

2x41；（3）(x2)(x2x12)0. 3xax