3.2.2 复数代数形式的乘除运算教学设计实例

3.2.2 复数代数形式的乘除法运算

【教学分析】

本节的重点和难点是复数乘法运算法则及复数的有关性质．

复数的代数形式相乘，与加减法一样，可以按多项式的乘法进行，但必须在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并．很明显，两个复数的积仍然是一个复数，即在复数集内，乘法运算是封闭的，同时它满足交换律、结合律及乘法对加法的分配律。在此基础上，得到共轭复数的有关性质结论。

复数正整数指数幂的意义是相同的复数的乘积，所以复数的乘方运算是乘法运算的推广，重点放在一些特殊的复数上，因为这些特殊形式的复数在研究复数乘方性质时是重要的。

本节课以学生为主体，类比实数的乘法，在例题中体现了从特殊到一般的数学思想，以讲授、问答、讨论为基本的教学方法。

【教学目标】

1．掌握复数代数形式的乘法运算法则，能熟练地进行复数代数形式的乘法运算；

2．知道复数的乘法满足交换律、结合律以及对加法的分配律；

3. 掌握共轭复数的有关性质；

4．掌握复数的正整数幂的运算律以及in的周期性规律．

5. 知道用类比的思想从实数的有关性质探讨复数相应的有关性质。

【教学重点难点】

重点：复数乘法的运算法则以及复数的正整数指数幂的运算律。

难点：用类比思想从实数的有关性质探讨复数的相应有关性质。

【教学过程】

预备知识检测，引入新知。

〖驱动问题〗

两个一次多项式相乘的方法

(abx)(cdx)ac(ad2

)bcxbdx

〖核心问题〗

怎样规定两个复数相乘的法则，使这样的规定满足：当这两个复数是实数的时候

其运算结果与用实数乘法法则相乘所得结果一致。

说明：为法则的得出做准备。学生自然会想到用类似于两个一次多项式相乘的方法来规定复数的乘法是合理的。

〖具体问题〗

例1：分组计算：

⑴(2i)(2i)

(2i)(2i)

⑵

⑶(2i)(2i)(1i)

(2i)(2i)(1i)

(2i)(1i)(1i)

(2i)(1i)(2i)(1i)

说明：1、与一次多项式乘法相类比，学生容易掌握，也容易记住

2、计算时符号容易出错，特别是i2=-1相关的数字符号，要提醒学生注意。

3、最后要整理成a+bi 型。

可以证明复数的乘法仍然满足交换律、结合律、分配律

1、

2、

3、

交换律：

zzzz

1221结合律:

(zz)zz(zz)

123123分配律：z(zz)zzzz

1231213说明：1、由特殊到一般，猜测得到的结论应该严格证明，以培养学生严谨的数学态度。

2、乘法公式的说明，如平方差，完全平方公式仍然适用。

例2：计算

⑴

⑵

⑶(abi)(abi)

abi2

(abi)2

(abi)2(abi)(cdi)

(abi)(cdi)可得共轭复数的性质：

⑴

zzz2特别的，当z1时，zz1

⑵

z2z2

⑶

z1z2z1z

2说明：让学生自己总结和归纳，培养学生发现问题，解决问题的能力。

〖推进问题〗：

定义：复数的乘方是几个相同的复数相乘。

那么实数的正整数指数幂有以下运算性质，它们是否在复数集中仍然成立？为什么？

1）

amanamn

2）mn(a)amn

3）(a1a2)na1na2n

（其中m、n为正整数）说明：与实数的正整数指数幂类比，基于复数的运算时实数运算的延伸。

〖具体问题〗

例3：1）计算

34i1,

i2,

i，

i

根据计算结果得出

i4n1

nN*i4n2=

i4n3=

i4n=

练习：1)

2)

ni23___,i352_____,i1000______,i1997_______i(i)n=

4，根据计算结果可得

(1i)2、

(1i)3、（1+i）2）计算：

练习

3）

设(1i)17=

, (1i)20=

13，计算：,,2,2,3,3的值

i22说明：让学生总结，并得出一个完整明确的结论，培养学生归纳知识的能力。

〖核心问题〗

类比

实数乘法

复数乘法

特殊到一般

实数乘方

复数的乘方

〖自我实践〗

A 类

1、(1i)(1i)_____

2、3

(12i)2______、(12i)(2i)(12i)________4、i3333_____5、(1i)2000_______6、已知z35i，则zzzz

B 类

1、复数z3i，z1i，则zzz在复平面内的对应点位于（

）

1212A、第一象限

B、第二象限

C、第三象限

D、第四象限

2、ii2i33、i2010=

(ai)2i为正实数，则实数a

4、已知复数1）求5、设z1i(1i)3

z1

2）当复数z满足z1、

求z-z1，若的最大值. z11cosisin，z2a2aiaRz1z2是纯虚数，问在（0,2）内是否存在使z1z22是实数

C类

1、若（z1)2z12，则z 一定是（

）

（A) 纯虚数

（B）实数

（C)虚数

（D)零

分析：首先考虑z2z2时，z 一定是

数

2、

已知z2i,求z63z5z45z32的值

分析：直接求计算量比较大，考虑z22i1

2

3、设a0，在复数集C中解方程

z22zaaR