小结优秀教案内容

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3.4基本不等式一、学习目标

(一)知识与技能目标

1、进一步掌握基本不等式; abab

2(2) 2、会应用此不等式解决一些有关证明及求最值的问题; (二)过程与方法目标

1、通过学生对问题的探究和归纳总结出一般性的解题方法和规律，进一步使学生掌握所学知识点的结构特征和取“=”条件. 2、理解基本不等式的几何意义，并能解决一些简单实际问题. (三)情感态度与价值观目标

通过运用公式的熟练变形提高学生分析问题和解决问题的能力. 二、阅读要求与检测

预习课本92-101页并回答下列问题：

已知x0,当x时,x281的值最小,最小值是2x.

三、要点精讲与典型例题

a2b2ab21、公式的等价变形:ab,ab().222、定理:如果a,b,cR,那么a3b3c33abc(当且仅当abc时取等号).说明:这里a,b,cR,若abc0就不能保证,此公式成立的充要条件为abc0.3、推论:如果a,b,cR,那么abc3abc(当且仅当abc时取等号).3

问题一：利用均值不等式求函数最值-----注意变形途径

例1、求下列函数的最值,并求出相应的x值.11(1)yx(x0);(2)yx(x3);

2xx313(3)yx(13x)(0x);(4)y2x2(x0)3x全品教学网www.canpoint.cn

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解:(1)yx当且仅当x(2)y111[(x)]2(x)22x2(x)2(x)12(x0)即x时y取最大值2.2x2111x(x3)32(x3)35x3x3x31当且仅当x3(x3)即x4时y取最小值5x3113x(13x)21(3)yx(13x)3x(13x)()3321211当且仅当3x13x即x时y取最大值612(4)x0,2x20,333390y2x22x233,xx2x2x2当且仅当2x2

3339,即x3时等号成立.故当x3时,y有最小值33.

2x442x23x1变式一、当x1时,求f(x)的值域.

x1解:x1,x10.x23x1(x1)25(x1)55f(x)(x1)5255x1x1x1

当且仅当(x1)25，即x51时取"".f(x)的值域为[255,).

变式二、已知x、yR且xy1,求u11的取值范围.

xy11xyxyxy124,当且仅当xy取""号.xyxyyx2

11u的取值范围为[4,).xy解:u

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例2、(1)若对一切正数x,x4a都成立,则a的最大值为 x(2)已知x1,y1且满足xy100,则lgxlgy的取值范围是

(3)已知x2y1,则2x4y的取值范围是 解:(1)4lgxlgy2lg(xy)22)()()21当且仅当xy10等号成立222

故取值范围是(0,1]1(3)2x4y2x22y22x22y22x2y22当且仅当xy等号成立3(2)lgxlgy(故取值范围是[22,)

问题二:利用均值不等式解决实际问题 例3、某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4800m2,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?解:设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元,根据题意,有4800z=150120(23x23y)240000720(xy)3由容积为4800m3,可得3xy4800xy1600由基本不等式与不等式的性质,可得240000720(xy)2400007202xy即z24000072021600所以z297600当xy,即xy40时,等号成立所以,将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低,最低总造价是297600元

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四、自主练习题 1、函数ysinx1(0x)的最小值为 2

2sinx2、已知正数a、b满足abab5,求ab的取值范围.

解:abab52ab5ab2ab50ab61(ab16舍去)

ab726即ab的取值范围是[726,)五、点评及总结

1.利用均值定理证明不等式时,往往需要拆(添)项,其目的：一是创设一个应用基本不等式的条件(如正数、定值等)；二是使等号（或不等号）成立的条件.

2.平均值定理主要解决的问题:(1)和与平方和与乘积之间的关系；(2)利用定理进行放缩变换；(3)利用定理求最值.六、课后作业：见作业本

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