探究与发现 组合数的两个性质第一课时教学实录

徐州师范大学数学系97（2）班

授课人：万连飞

组合数的两个性质

作者：万连飞

教学目的：

1．

使学生掌握组合数的两个性质及其证明方法，培养学生的逻辑思维能力；

2．

使学生能利用组合数的性质进行计算，培养学生的计算能力。

教学过程：

一、复习提问：

1．

组合数公式的两种形式是什么：

2．

利用组合数的公式的第二种形式计算

，根据学生的回答，教师板书如下：

（1）

组合数公式：

mncccppmnmmn(n1)(nm1)m!

mnn!m!(nm)!} (n,m∈N,且m≤N) 二、新课讲授：

1．

通过具体的实例，丰富学生对性质1的感性认识，并加以证明，再讲它的应用。

（1）

利用组合数的公式，考察：

911

与c211，

c710与c310，

c与c7617

的关系，并能发现什么规律？（可以逐个叫学生回答，板书）

∵c112911!11109!2!2!，

1110c112!，

又∴c911=7c211；

10!1098∵c10

7!3!3!c又731010983!3

∴c10c10c76；

∵7!6!1!

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又c76171!

1∴7=7。

由不完全归纳可得：从n个不同的元素中取出m 个元素的组合数，等于从n个不同的元素中取出n-m个元素的组合数。即

cc定理1：cnm=cnmn，(n,m∈N,且m≤N) (2)定理1的证明。要证明这个等式成立，即证明两个量相等。那么，证明两个量相等有声么方法呢？（指明学生回答）

方法一：“若两个数都等于第三个数，则这两个数相等

”。

我们知道，

cmnn!m!(nm)!，

cnmnn!n!(nm)![n(nm)]!(nm)!m!

n!n!(nm)!m!等于(nm)!m!。于是可得下面的证明。

显然，证明：∵又∴cmnn!m!(nm)!，

cnmnn!n!(nm)![n(nm)]!(nm)!m!，

c=cnmnnm。

（3）性质1的另一种解释：从n个不同的元素中取出m个元素，并成一组，那么，剩下的n-m个元素也成一组；反之，从n个不同的元素中取出n-m个元素并组成一组，那么剩下的m个元素也成一组。所以，它们的组合是一一对应的，故有从n个不同的元素中取出m个的组合数是c等于从

n个不同的元素中取出n-m个元素的组合数nmcnmn，即n=（4）当

7cc97mnmn。

n2m时，利用这个公式，可是cmn的计算简化。如：

c9c9c92983612，

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c100c10098210099495012。

（5）

注意：当m=n时，公式

c=cnmn0nm变形为

c0nnncn，

又cnn=1，所以规定：c=1即

0！=1 （6）在这样的一组组合数：

c0n，cnn1n，c1n2n……n1ncn2n，2ncn1n，cnn

中，性质1还说明了：与两端等距离的两个组合数相等。如：

c=cn0，c=c35，c=cn2n，……。

（1）

2．

用计算的方法验证下列各式成立，并加以证明。

（1）用计算的方法考察组合数：

与，

8与

的关系，你能由此发现什么规律吗？（可指明学生回答，板书）

cc4c432c5c7c754∵c5c5232541012

12c4c4C4C44610∴3

c=553c4c4332

∵c8c8487656123

23c7c7c7c757676521355612123

∴8=

规律：若n、,m是自然数，m≤n，则

c5c7c7m54cn1cncnmmm1，（或

mnncmncn1cn1mm1）

定理2

cccn1m1

(n,m∈N,且m≤N) （2）

定理2的证明。要证明这个等式，只要根据组合数的公式变形即可。

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证明：∵

ccnmm1nn!n!m!(nm)!(m1)![n(m1)]!

n!(n1m)n!mn!(n1mm)m!(n1m)!m!(n1m)!





(n1)!mcn1m!(n1m)!

mn∴cmn1ccnm1

a（3）对于定理2，还可以这样解释：从a1，

a2，….，n1这n+1个不同的元素中取出m个元素的组合数组合是从a2，….，组合是从a2，….，得：

cmn1，这些组合可以分成两类：一类含a1，一类不含a1。含a1的m1an1这n个不同的元素中取出m-1个元素的组合数为cn，不含a1的an1这n个不同的元素中取出m个元素的组合数为cmn。再由加法原理，cmn1cncnmm1。

（3）定理2还说明了，把从n+1个不同的元素中取出m个元素的组合数n1，等cm于从n个不同的元素中取出m个元素的组合数组合数c与从n个不同的元素中取出m-1个元素的nmcm1n的和。这体现了组合数的可分解性，或组合数的可加性。

二、课堂练习：

1．

计算c2．

求198200与2c399c992；

cm38c7mn3；

3．

利用定理2证明：

cccn1n2证明：nm...cm1cmcnmmmm1

cm1cn1cn1

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cn1cn2cn2mmmmmm1m1

cn1cn2cn3cn3

……

cccn1n2m1m1mmmn3...cm1cmm1m1mm

又证：将原式左边的各项写成：

cn1cncn1mm1m，

cn2cn1cn2mmm1m1，

m，

cn3cn1cn2mm1m1，

……

cm1cm2cm1cccn1n21m1，ccm将上述的等式两边相加，得：

mmmn3...cm1cmcnmm1

四、作业:认真阅读课文,重点掌握组合数的两个性质的证明和利用性质计算组合数的方法,并做下列练习:

1.求

c52c52c52c5c52. 证明: 3.书上

2345

nn1cccnn1nnnn2cnm1cnm1

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