探究与发现 子集的个数有多少教学设计

探究与发现

子集的个数有多少

澄海实验高级中学

李丹娜

【教学目标】

1.进一步认识加法原理和乘法原理，激发学生的学习兴趣；

2.会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；

3.进一步深化《必修一》中子集的个数问题。

【教学重点】

应用加法原理和乘法原理解决计算集合中子集的个数问题。

【教学难点】

引导学生发现分类、分步的标准。

【数学思想方法】

转化与化归

【教学过程】

（一）提出课题，引入新课

在高一的时候，我们已经学习了集合。通过归纳推理，我们得出了，若集合A{a1,a2,an}中有n个元素，则集合A有2n个子集。这只是我们做出的一个推理，这节课，我们将对这一问题，来进一步探究！

（二）合作探究，初识问题

为了解决这个问题，我们先来研究某些特殊的集合，如S{a1,a2,a3}的子集个数。

，由于集合S中的元素只有3个，我们可以通过列举法列出它的所有子集：{a1}，{a2}，{a3}，{a1,a2}，{a1,a3}，{a2,a3}，{a1,a2,a3}，因此，一个含有3个元素的集合共有8个子集。但如果集合中的元素较多，这种方法确定子集的个数就太不方便，而且，从上面的列举过程我们也较难发现元素个数3与子集个数8的关系。为了发现规律，我们需要采取另外的方法。

集合S中的元素ai(i1,2,3)与它的各个子集，只有两种关系：aiS或aiS。这样我们可以通过考察S中的每一个元素属不属于某个子集的方法来得到一个

子集。

因为S中有3个元素，所以要得到集合S的一个子集S1,可以分三个步骤：

第1步，考察元素a1是否在S1中，有2种可能(a1S1，a1S1)；

第2步，考察元素a2是否在S1中，有2种可能(a2S1，a2S1)；

第3步，考察元素a3是否在S1中，有2种可能(a3S1，a3S1)；

只要完成上述三个步骤，那么集合S1中元素就完全确定了。根据分步计数原理,对于由3个元素组成的集合,共有2×2×2=23=8个不同的子集。

从上述过程我们看到了3与8之间的关系:3是23中的指数，而8是23的运算结果。

一般的，我们有若集合A{a1,a2,an}中有n个元素，则集合A有2n(nN)个子集，能否给出证明？

证明：要得到集合A的一个子集S1,可以分______个步骤：

第___步，考察元素a1是否在S1中，有_____种可能(________________)；

第___步，考察元素a2是否在S1中，有_____种可能(________________)；

……

第k步，考察元素ak是否在S1中，有_____种可能(________________)；

……

第___步，考察元素an是否在S1中，有_____种可能(________________)；

只要完成上述_____个步骤，那么集合S1中元素就完全确定了。根据分步计数原理,对于由n个元素组成的集合A，共有__________不同的子集。

【答案】证明：要得到集合A的一个子集S1,可以分n个步骤：

第1步，考察元素a1是否在S1中，有2种可能(a1S1，a1S1)；

第2步，考察元素a2是否在S1中，有2种可能(a2S1，a2S1)；

……

第k步，考察元素ak是否在S1中，有2种可能(akS1，akS1)；

……

第n步，考察元素an是否在S1中，有2种可能(anS1，anS1)；

只要完成上述n个步骤，那么集合S1中元素就完全确定了。根据分步计数原理,对于由n个元素组成的集合A，共有2222n个不同的子集。

n个2 思考：你是否对把空集及原集合自身作为子集的规定有进一步的理解? 回答：可将空集理解为集合A中n个元素a1,a2,an都不在S1中，反之，全集可以理解为n个元素a1,a2,an都在S1中。

（三）合作探究，再识问题

对于集合S{a1,a2,a3}所有子集：，{a1}，{a2}，{a3}，{a1,a2}，{a1,a3}，{a2,a3}，{a1,a2,a3}，在列举过程中，我们会按照子集中元素的个数进行依次列举，防止出现遗漏和重复，那我们能否从这一角度来分析问题？

对于集合A{a1,a2,an}所有的子集中，其元素个数分别为0个，1个，2个，……，n个，共有n1类元素个数不同的子集：

第___类：含有0个元素的子集为，有___个；

第___类：含有1个元素的子集可由集合A中n个元素任取1个组成，有___个；

……

第___类：含有k个元素的子集可由集合A中n个元素任取k个组成，有___个；

……

第___类：含有n个元素的子集可由集合A中n个元素组成，有___个；

把上述n1类子集个数全部相加，共有__________________个

【答案】第1类：含有0个元素的子集为，有1个；

1第2类：含有1个元素的子集可由集合A中n个元素任取1个组成，有Cn个；

……

k第k1类：含有k个元素的子集可由集合A中n个元素任取k个组成，有Cn个；

……

n第n1类：含有n个元素的子集可由集合A中n个元素组成，有Cn个；

12n把上述n1类子集个数全部相加，共有1CnCnCn2n个

对于问题若集合A{a1,a2,an}中有n个元素，则集合A有2n(nN)个子集，我们也可以借助数学归纳法来证明问题。

（1）当n0时，易证公式成立；

（2）假设当nk时公式成立，即含有k个元素的集合A有2k个子集，

当nk1时，A{a1,a2,ak,ak1}含有k1个元素，其子集分为两类，第一类是不含有ak1的，根据nk的归纳假设，共有2k个，第二类为含有ak1的，这种集合为第一类集合中添加元素ak1，也共有2k个。

故nk1时，集合A的子集有2k2k2k1个。

所以nk1时，命题也成立。

所以若集合A{a1,a2,an}中有n个元素，则集合A有2n(nN)个子集。

（四）总结反思，加深理解

本节课利用分步、分类计数原理解决实际应用问题，推导含有n个元素的集合A的子集个数。分析过程中应注意：

①确定类别（分类、分步）；

②分类不重复；

③分步不交叉。

（五）布置作业

如图，一蚂蚁沿着长方体的棱，从它的一个顶点A爬到相对的另一个顶点

B的最近路线共有多少条？

B A