1.3 二项式定理（通用）第二课时 公开课

课题：1.3.2二项式系数的性质 教学设计 高2012级3班

陈凤乾2014.4.8

教学目标：

1、德育渗透：介绍杨辉三角，加强爱国主义教育。

2、知识目标：掌握二项式系数的性质,进一步认识组合数、组合数的性质. 会应用二项式系数的性质解决一些简单问题。运用函数观点分析处理二项式系数的性质. 3、能力目标：通过对问题的尝试、探究加强对学生观察、归纳、发现能力的在培养。

学情分析：知识结构：学生已学习两个计数原理和二项式定理，再让学生课前探究“杨辉三角”包含的规律，结合“杨辉三角”，并从函数的角度研究二项式系数的性质. 心理特征：高二的学生已经具备了一定的分析、探究问题的能力，恰时恰点的问题引导就能建立知识之间的相互联系，解决相关问题. 教学重点：二项式系数的性质的及对性质的理解与应用

教学难点：二项式系数的性质2的理解与应用。

教学过程：

教师的教学及活动

一、设疑（提出问题）

知识探究1

提

问:请同学观察这个图表的结果，有哪些规律？

1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 …… 提

问:为什么会有这些性质？

介

绍: 这个图表我们把它叫做二项式系数表。在我国它又被叫做杨辉三角。这里还流传一个美丽动人的故事。在国外，这个表被称为帕斯卡三角。认为是法国数学家帕斯卡在

17 世纪最早发现这一规律的。而在我国，早在

13 世纪，杨辉在他的《详解九章算法》中就不仅有了这个的图表，还清楚地写着‘贾宪用此术’。贾宪是我国

11 世纪的数学家，这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年，也说明了古代中华民族就在数学上有着辉煌的成就。但是，杨辉，贾宪的成就只有《详解九章算法》中有记载而此书早已失传，仅在《永乐大典》中抄录了部分内容，这是证明杨、贾两人成就的唯一证据。《永乐大典》是极其珍贵的国宝，

然而1900 年，八年联军侵占北京，把翰林院中的《永乐大典》残本掠走，运往英国。后来，中国数学家李俨的外国朋友在英国见到《永乐大典》残本，拍下了记载‘杨辉三角’内容的文字，并把照片寄给李俨，这段历史才得以证实，我们今天的数学课本中也才能堂堂正正地写上‘杨辉三角’。但是可惜的是，《永乐大典》的残本至今未能回到祖国的怀抱。

二、尝试：

（提出问题尝试解决）

杨辉三角既然是二项式系数表我们就可以用杨辉三角来研究二项式系数的性质。

提

问：

还可以用什么方法研究它的性质。

提

问：

如何来做图象。

知识探究2

学生的思维与活动

学生思考后总结：

（学生可以讨论、研究无须顺序总结）

媒体应用

多媒体给

1）两边的数都是1。

出图表，

2）具有对称性。

显示学生3）除1以外每个数都是肩上两个数的和。

的总结

4）中间数最大。

学生讨论后得出结论：

这些数都是前面讲过的二项式系数。

多媒体给

出有关介由学生翻阅材料介绍

（通过古中国数学成就的介绍，加强对学生绍及图片

的爱国主义教育。）

给出学生学生预习得出：

函数图象可以形象，直观反应性质，我的确定函们还可以用函数图象来研究二项式的系数。

数的过程。

学生讨论后回答：

Cr可以看成以r为自变量的函数（fr），

n1

其定义域是｛0,1,···,n｝。当n=6时，它的图多媒体给象如图。

图图象

作出：n为偶数；如n=6

n为奇数；如n=7

的图像。

观察图表及图象得出：对称性。

多媒体给

这是二项式系数的性质1。

出图表

学生总结：

生：在二项展开式中，与首末两端“等距”

①关于r=n/2对称

的两项的二项式系数相等。

多媒体给

②r=3和r=4时取得最大值

出图象

提

问：观察图象有何性质？为什么会有这种性质。

提

问：能否用语言总结一下？

学生证明：有组合数性质Cnr=Cnn-r得到。

n(n它的值先增后减。1)(n2)(n3)...[n提

问：能否证明？

kn(n1)(n2)(n3)...(nk1)回答：

(k1)1](nk1)

Cnk!(k1)!k

回答：有，中间位置可能最大多媒体给

k1nk1提

问：下面我们继续观察图象，还可以发现哪些问题？

学生活动：1讨论研究出结果

出图表，Cn.k

（这里让学生讨论研究，尝试证明。让学板动画显示提

问：有最大值吗？

演，可以多种方法证明，让学生充分体会成每行最大提

问：能再具体一些吗？是哪些项二项式系数最大？

功的喜悦。教师还可以让学生对不完善的证值

明加以补充。）

理解性质练一练：一

（学生未必一下能说清楚，尽量鼓励学生

说，积极参与）

6(1)、在（a+b)展开式中，与倒数第三项二项式系数相n为偶数时，中间一项二项式系数最大，中

等的是（

）

间一项是第

n项；

12A 第2项

B

第3项

C第4项

D第5项

多媒体闪n为奇数是，中间两项二项式系数最大，中烁指明最n(2)、在（a+b)展开式中，第三项二项式系数与第五项大值，并间两项是第n1,n3项。

22的二项式系数相等，则n=

（

）

指出其项提

问：怎样证明？

（学生语言未必简捷，只要正确就要鼓励他数。

理解性质练一练：二

往下说，以免打消学生的积极性）

2讨论研究出证明

10(1)、在（1+x)展开式中，二项式系数最大的是

证明

15(2)、指出（a+2b)的展开式中哪些项的二项式系数最

大，并求出最大的二项式系数。（用组合数表示）

11(3)、

在（x-1)的展开式中，求系数最小的系数？

最

大的系数呢

知识探究3

思考得出：

提

问：目前我们已经发现了二项式系数的两个性质，（计算每行和）

二项式系数还有没有其它规律呢？我们看杨辉三角： 二项式系数和为2n

和为

1 1 2 2

多媒体给

1 2 1 2

3 1 3 3 1 2出图表

4 1 4 6 4 1 2在学生计5

1 5 10 10 5 1 26 算过程中1 6 15 20 15 6 1 2

2 rf(r)Cn定义域为0,1,2,,n

……

提

问：可以发现什么规律呢？

提

问：如何来证明呢？

定义：这种方法我们叫赋值法，是解决与二项展开系（学生讨论，尝试证明并板演）

数有关问题的重要手段．

可以多种方法。如（1+x）n中令x=1，或提

问：我们已经发现并证明了二项式系数的三个性质，可以发现什么规律呢

（a+b）n中令a=1，b=1。

奇数项和为 偶数项和为

1 1 1 1 2 1 2 1 2 思考得出：

2 2 奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系 21 3 3 1 23 3 ）n—121 4 6 4 1 2数和为2。既C+Cn2+Cn4+……= n4 4 21 5 10 10 5 1 2Cn1+Cn3+Cn5……

5 5 21 6 15 20 15 6 1 2

……

提

问：如何来证明呢？

强调：我们得到了奇数项的二项式系数和与偶数项的学生证明：

二项式系数和相等，但这并不意味着等号两边的个数（由于有例1的铺垫，学生很容易想到相同．当n为偶数时，奇数项的二项式系数多一个；赋值法）

当n为奇数时，奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数个数才相同．

（1+x）n中令x=-1，或

提

问：可有没有发现其他规律呢？

（a+b）n中令a=1，b=-1。

1 7 21 35 21 7 1

1 8 28 56 56 28 8 1

。。。。。。。

定义：这种方法我们叫递推法，我们可以无限得到下

面的行的结果。

理解性质

练一练：三

思考得出：

11（1）、在(a＋b)展开式中，二项式系数最大的项是由两边的数都是1。及除1以外每个数都是肩上两个数的和。可以向下接着写出下一第 项。

行.1、7、21、35、21、7、1。

（2）C51+C52+C53+ C54+ C55=

三、归纳：

时间关系，我们今天这堂课就研究到这里。本节课

关键是利用杨辉三角形直观性发现并证明二项式系数的性质．

教师归纳：

我们可以把第一个性质简记为二项式系数对称规律，

性质2简记为最大二项式系数规律，3、4两个性质所采取的方法——赋值法。性质5用了递推法。赋值法解

决与二项展开系数有关问题的重要手段．递推法是我们学生总结：

数学归纳法的基本思想。

（由学生叙述这五个性质）

四、思维提升与反馈

发现了这些性质对解题的帮助体现在哪儿呢？我

们来看几组练习：

(一)

方法提炼---思维提升:

2n一个多项式，f(x)a0a1xa2xanx

1：若3x17ax7ax6axa例7610

则a7a6a1的值为()

（二）尝试练习：

能力提升

跃一跃

学生练习：

2n1.(1+x)+(1+x)+…+(1+x)的展开式的各项系数和（可以请一些基础较差的学生回答，使他们是………………………（ ）

也体会成功的喜悦，完成基本教学要求。也n+1n+1n+1n+1A.2-2 B.2-1 C. 2 D. 2+1

可以分组抢答，激发学生的学习兴趣）

尝试练习：

能力提升

跃一跃

学生讨论研究练习：

有动画效果

多媒体给

出图表

在学生计算过程中有动画效果

多媒体给

出图表，

并补充下面行的内容

多媒体给

出练习

3

本节课采用了探究性学习方式在教学过程中本人深深地感到很大的困惑: 如何在教学大纲指定课时内同时把握到“探究性教学方式”与“知识传授”两不误？通过课堂的摸索把握及学校许多经验丰富的教师的点评指导，我深深地体会到：面对时代的挑战，教师需要及时转变观念，切实改进教学行为，努力提高自身素质水平，才能更好地实施数学的探究教学。

一要从研究“如何把学生教会”变为“如何让学生会学”。知识是不能被传递的，教师在课堂上传递的只是信息，

知识必须通过学生的主动建构才能获得，也就是说，学习是学习者自己的事情，谁也不能代替。因此，在数学教学中首先要确立学生的主体地位，建

立探索性的学习方式，培养学生自主学习的意识。

1、要培养学生的问题意识：教师要通过创设真实、复杂且具有挑战性的开放型问题情境，引导学生参与探究、思考，把学习的主动权还给学生，让学生在自主活动中学会观

察，学会思考，学会发现，努力营造一个有利于学生生活活泼、主动求知的数学学习环境。

2、应锻炼学生的各种能力：活动课前的准备，锻炼学生搜集处理信息的能力。调查询问，锻炼学生动口、动手能力；课堂教学培养学生概括能力和口头表达能力。

在课堂教学过程中，少一些讲解、分析、提问，多一些引导、点拨、激励，彻底改变那种牵着学生走的状况。

二要从“以教材、教案为中心”转变为“以学生全面主动地发展为中心”，全力激发学生学习欲望，主动获取知识。

教师要成为学习的促进者：在教学中通过交往建立和谐、民主、平等的师生关系，教学是师生之间的合作和兴趣。教师不仅传授知识，更要与学生一起分享对课程的理解。

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