1.1 回归分析的基本思想及其初步应用优秀教学设计

数

学

选修1－2 1．1回归分析的基本思想及其初步应用

三维目标

1．知识与技能

通过典型案例的探究，了解回归分析的基本思想，会对两个变量进行回归分析，明确解决回归模型的基本步骤，并对具体问题进行回归分析以解决实际应用问题．了解最小二乘法的推导，解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想，了解判断刻画模型拟合效果的方法——相关指数和残差分析．掌握利用计算器求线性回归直线方程参数及相关系数的方法．

2．过程与方法

通过收集数据作散点图，分析散点图，求回归直线方程，分析回归效果，利用方程进行预报．

3．情感、态度与价值观

培养学生利用整体的观点和互相联系的观点来分析问题，

进一步加强数学的应用意识，培养学生学好数学、用好数学的信心，加强与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相互关系．

重点难点

重点：回归分析的基本方法、随机误差e的认识、残差图的概念、用残差及R2来刻画线性回归模型的拟合效果．

难点：回归分析的基本方法、残差概念的理解及拟合效果的判定、非线性回归向线性回归的转化．

教学时要以残差分析为重点，突出残差表和R2的计算，通过举例说明相关关系与确定性关系的区别，说明回归分析的必要性及其方法．借助例题使学生掌握作散点图、求回归直线方程的方法，通过作残差图、计算R2让学生掌握拟合效果的判断方法．对于非线性回归问题重点在如何转换，引导学生分析总结转化方法和技巧，从而化解难点．

教学建议

本节课建议教师采取探究式教学，把“关注知识”转向“关注学生”，在教学过程中，把“给出知识”的过程转变为“引起活动，让学生探究知识的过程”，把“完成教学任务”转向“促进学生发展”，让学生成为课堂上的真正主人．在

教学中，知识点可由学生通过探索“发现”，让学生充分经历探索与发现的过程，并引导学生积极解决探索过程中发现的问题．教学中不要以练习为主，而是定位在知识形成过程的探索，例题的解答也要由学生探讨、教师点拨，共同完成．要注重数学的思想性，如统计思想、随机观念、函数思想、数形结合的思想方法等，引导学生体验数学中的理性精神，加强数学形式下的思考和推理能力．

教学流程

创设问题情境，引出问题，引导学生探讨，从而引出回归分析、线性回归模型、刻画回归效果的有关概念及解决方法．利用填一填的形式，使学生自主学习本节基础知识，并反馈了解，对理解有困难的概念加以讲解．引导学生在学习基础知识的基础上分析回答例题1的问题，并总结规律方法，完成变式训练．引导学生分析例题2，根据图中的数据计算系数，求出回归方程，列出残差表，求出R2并判断拟合效果，完成变式训练．

完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法，并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．通过老师启发引导，完成例题3，并要求学生借鉴例题3的解法完成变式训练．引导学生分析例题3，让学生作出散点图，观察相关性，引出问题，即如何使问题转化为相关关系并用线性回归分析二者关系．

1.会用散点图分析两个变量是否存在相关关系．(重点) 2．会求回归方程，掌握建立回归模型的步骤，会选择回归模型．(重点、难点)

课标解读

【问题导思】

一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会有缺陷．按不同转速生产出有缺陷的零件的统计数据如下：

转速x(转/秒)

每小时生产有缺

陷的零件数y(件)

1.在平面直角坐标系中作出散点图．

【提示】

16

11

14

9

12

8

8 5

2．从散点图中判断x和y之间是否具有相关关系？

【提示】

有．

3．若转速为10转/秒，能否预测机器每小时生产缺陷的零件件数？

【提示】

可以．根据散点图作出一条直线，求出直线方程后可预测．

^x＋a^，其中：

(1)回归直线方程：

^y＝b^＝bi＝1

xi－xyi－y

xi－x2nn1n^^，a＝y－bx，x＝nxi，

i＝1i＝11ny＝nyi. i＝1(2)变量样本点中心：(x，y)，回归直线过样本点的中心．

(3)线性回归模型：y＝bx＋a＋e，其中e称为随机误差，a和b是模型的未知参数，自变量x称为解释变量，因变量y称为预报变量．

残差

对于样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)的随机误差的估计值^ei＝yi－^yi，称为相应于点(xi，yi)的残差

利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选残差图

为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图

残差

图法

残差平

方和

残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较适合，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高

残差平方和为 (yi－^yi)2，残差平方和越小，模型拟合效果越好

i＝1n

i＝1yi2

yi－^nn相关指

数R

2R＝1－2，R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率，i＝1

yi－y2R2越接近于1，表示回归的效果越好

例1、

有下列说法：

①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线，使之贴近这些样本点的数学方法；②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系^x＋a^，可以估计和观测变量的取值和变化趋势；④因表示；③通过回归方程^y＝b为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验．

其中正确命题的个数是(

) A．1

B．2

C．3

D．4 【思路探究】

可借助于线性相关概念及性质逐一作出判断．

【自主解答】

①反映的正是最小二乘法思想，故正确．②反映的是画散点^x＋a^的作用，故也正确．④是不正图的作用，也正确．③解释的是回归方程^y＝b确的，在求回归方程之前必须进行相关性检验，以体现两变量的关系．

【答案】

C

1．解答例1中④时，必须明确具有线性相关关系的两个变量间才能求得一个线性回归方程，否则求得的方程无实际意义．因此必须先进行线性相关性判断，后求线性回归方程．

2．回归分析的过程：

(1)随机抽取样本，确定数据，形成样本点；

(2)由样本点形成散点图，判断是否具有线性相关关系；

(3)由最小二乘法确定线性回归方程；

(4)由回归方程观察变量的取值及变化趋势．

关于变量y与x之间的回归直线方程叙述正确的是(

) A．表示y与x之间的一种确定性关系

B．表示y与x之间的相关关系

C．表示y与x之间的最真实的关系

D．表示y与x之间真实关系的一种效果最好的拟合

【解析】

回归直线方程能最大可能地反映y与x之间的真实关系，故选项D正确．

【答案】

D 例2

已知某种商品的价格x(元)与需求量y(件)之间的关系有如下一组数据：

x y 14

12

16

10

18

7

20

5

22 3 求y关于x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏．

【思路探究】

回归模型拟合效果的好坏可以通过计算R2来判断，其值越大，说明模型的拟合效果越好．

1【自主解答】

x＝5(14＋16＋18＋20＋22)＝18，

1y＝5(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，

22222x2i＝14＋16＋18＋20＋22＝1 660，

5i＝1i＝1xiyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，

55^＝所以bi＝1xiyi－5x

y2x2i－5x5＝620－5×18×7.4＝－1.15，

1 660－5×182i＝1^＝7.4＋1.15×18＝28.1，

a

^所以所求回归直线方程是y＝－1.15x＋28.1.列出残差表：

yi－^yi

yi－y

50

4.6

0.3

2.6

－0.4

－0.4

－0.1

－2.4

0.2 －4.4 5^2所以

(yi－yi)＝0.3，

(yi－y)2＝53.2，

i＝1i＝1i＝1yi2

yi－^55R2＝1－≈0.994，

i＝1

yi－y2所以回归模型的拟合效果很好．

^，b^刻画了两个变量1．回归直线方程能定量地描述两个变量的关系，系数a^表示x变化一个单位时，y的平均变化量．利用回归直之间的变化趋势，其中b线可以对问题进行预测，由一个变量的变化去推测另一个变量的变化．

2．线性回归分析中：

(1)残差平方和越小，预报精确度越高．

(2)相关指数R2取值越大，说明模型的拟合效果越好．

某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下：

次数(x)

成绩(y)

(1)作出散点图；

(2)求出线性回归方程；

(3)作出残差图，并说明模型的拟合效果；

(4)计算R2，并说明其含义．

【解】

(1)作出该运动员训练次数(x)与成绩(y)之间的散点图，如图所示．

30

30

33

34

35

37

37

39

39

42

44

46

46

48

50 51

(2)可求得x＝39.25，y＝40.875，x2i＝12 656，

i＝1882yi＝13 731，xiyi＝13 180，

i＝1i＝18^＝∴bi＝1

xi－xyi－y

xi－x288

i＝1i＝1xiyi－8x

y2x2i－8x88＝≈1.041 5，

i＝1^＝y－b^x＝－0.003 875，

a∴线性回归方程为^y＝1.041 5x－0.003 875. (3)作残差图如图所示，

由图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适．

(4)相关指数R2＝0.985 5.说明了该运动员的成绩的差异有98.55%的可能性是由训练次数引起的. 例3、下表为收集到的一组数据：

x 21

23

25

27

29

32

35

y 7

11

21

24

66

115

325

(1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系；

(2)建立x与y的关系，预报回归模型并计算残差；

(3)利用所得模型，预报x＝40时y的值．

【思路探究】

(1)画出散点图或进行相关性检验，确定两变量x、y是否线性相关．由散点图得x、y之间的回归模型．

(2)进行拟合，预报回归模型，求回归方程．

【自主解答】

(1)作出散点图如图，从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y＝c1ec2x的周围，其中c1、c2为待定的参数．

(2)对两边取对数把指数关系变为线性关系，令z＝ln y，则有变换后的样本点应分布在直线z＝bx＋a，a＝ln c1，b＝c2的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程了，数据可以转化为：

x z 21

1.946

23

2.398

25

3.045

27

3.178

29

4.190

32

4.745

35 5.784

求得回归直线方程为^z＝0.272x－3.849，

∴^y＝e0.272x－3.849. 残差如下表：

yi

^yi

^ei

7

6.443

0.557

11

11.101

－0.101

21

19.125

1.875

24

32.950

－8.950

66

56.770

9.23

115

128.381

－13.381

325 290.325 34.675

(3)当x＝40时，y＝e0.272x－3.849≈1 131.

两个变量不具有线性关系，不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关系，可以通过变换的方法转化为线性回归模型，如y＝c1ec2x，我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系，令z＝ln y，则变换后样本点应该分布在直线z＝bx＋a(a＝ln c1，b＝c2)的周围．

有一个测量水流量的实验装置，测得试验数据如下表：

i 水高h(厘米)

流量

Q(升/分钟)

1

0.7

0.082

2

1.1

0.25

3

2.5

1.8

4

4.9

11.2

5

8.1

37.5

6

10.2

66.5

7 13.5

134 根据表中数据，建立Q与h之间的回归方程．

【解】

由表中测得的数据可以作出散点图，如图．

观察散点图中样本点的分布规律，可以判断样本点分布在某一条曲线附近，表示该曲线的函数模型是Q＝m·hn(m，n是正的常数)．两边取常用对数，

则lg Q＝lg m＋n·lg h. 令y＝lg Q，x＝lg h，那么y＝nx＋lg m，

即为线性函数模型y＝bx＋a的形式(其中b＝n，a＝lg m)．

^≈2.509 7，a^＝－0.707 7，所以由下面的数据表，用最小二乘法可求得bn≈2.51，m≈0.196. i 1

2

3

4

5

6

hi

0.7

1.1

2.5

4.9

8.1

10.2

Qi

0.082

0.25

1.8

11.2

37.5

66.5

xi＝lg hi

yi＝lg Qi

xi2

0.024

0.001 7

0.158 3

0.476 4

0.825 4

1.017 3

xiyi

0.168 3 －0.024 9 0.101 6 0.724 2 1.430 0 1.838 5 －0.154 9

－1.086 2

0.041 4

0.397 9

0.690 2

0.908 5

1.008 6

－0.602 1

0.255 3

1.049 2

1.574 0

1.822 8

7

∑

13.5

134

1.130 3

4.022

2.127 1

5.140 1

1.277 6

3.780 7

2.404 3 6.642 于是所求得的回归方程为Q＝0.196·h2.51. 课后作业：

一、选择题

1．在画两个变量的散点图时，下面叙述正确的是(

) A．预报变量在x轴上，解释变量在y轴上

B．解释变量在x轴上，预报变量在y轴上

C．可以选择两个变量中任意一个变量在x轴上

D．可以选择两个变量中任意一个变量在y轴上

2．(2013·泰安高二检测)在回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和(

) A．越大

B．越小

C．可能大也可能小

D．以上均错

3．设变量y对x的线性回归方程为^y＝2－2.5x，则变量x每增加一个单位时，y平均(

) A．增加2.5个单位

C．减少2.5个单位

B．增加2个单位

D．减少2个单位

4．(2012·湖南高考)设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为^y＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是(

) ．．．A．y与x具有正的线性相关关系

B．回归直线过样本点的中心(x，y) C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg

5．在判断两个变量y与x是否相关时，选择了4个不同的模型，它们的相关指数R2分别为：模型1的相关指数R2为0.98，模型2的相关指数R2为0.80，模型3的相关指数R2为0.50，模型4的相关指数R2为0.25.其中拟合效果最好的

模型是(

) A．模型1

C．模型3

二、填空题

6．在研究身高和体重的关系时，求得相关指数R2≈________，可以叙述为“身高解释了64%的体重变化，而随机误差贡献了剩余的36%”，所以身高对体重的效应比随机误差的效应大得多．

7．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：^y＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．

8．已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是________．

三、解答题

9．某省2013年的阅卷现场有一位质检老师随机抽取5名学生的总成绩和数学成绩(单位：分)如下表所示：

学生

总成绩(x)

数学成绩(y)

(1)作出散点图；

(2)对x与y作回归分析；

(3)求数学成绩y对总成绩x的回归直线方程；

(4)如果一个学生的总成绩为500分，试预测这个学生的数学成绩．

10．(2012·福建高考)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

单价x(元)

8

8.2

8.4

8.6

8.8

9 A 482

78

B 383

65

C 421

71

D 364

64

E 362 61 B．模型2 D．模型4

销量y(件)

90

84

83

80

75

68 (1)求回归直线方程^y＝bx＋a，其中b＝－20，a＝y－bx；

(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本) 11．在关于人的脂肪含量(百分比)和年龄的关系的研究中，研究人员获得了一组数据如下表：

年龄x 脂肪

含量y

(1)作出散点图，并判断y与x是否线性相关．若线性相关，求线性回归方程；

(2)求相关指数R2，并说明其含义；

(3)给出37岁时人的脂肪含量的预测值．

23

27

39

41

45

49

50

53

54

56

57

58

60

61 9.5

17.8

21.2

25.9

27.5

26.3

28.2

29.6

30.2

31.4

30.8

33.5

35.2

34.6