复习参考题优质课教学设计

高三第一轮复习

一元二次不等式及其解法（一）

南宁市第十四中学 周竹兰

一、三维目标

1、知识与技能[来源:Z#xx#k.Com]

通过函数图象了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系;

2、过程与方法

通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想;

3、情感态度与价值观

通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辩证的世界观.

二、教学重点：利用二次函数图象研究对应不等式解集的方法。

难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系. 三、高考链接:（1）考察频率：在近几年各省理科试卷中均有出现，是高考的必考考点.

（2）考察形式：在选择题，填空题，解答题都有出现. （3）考察难度：一般以中档题为主，试题难度取决于两个方面：①对考点的考察程度；②与其他知识点的综合考察. （4）试题特点：考察形式丰富，多与其他知识点结合，在函数、数列、解析几何、应用题等题型中都可以考察，灵活度高.

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来源: 四、教学过程：

（一）主要知识和方法：

1．一元二次不等式、对应方程、函数之间的关系； 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根与一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0的解集的关系，可归纳为：

判别式Δ＝b2－4ac 二次函数y＝ax2＋bx＋Δ>0

Δ＝0

Δ<0 c (a>0)的图象

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根

一元

二次不等式的解集

有两相异实根x＝x1或x＝x2

{x|xx2}

有两相同实根x＝x1

{x|x≠x1}

无实根

ax2＋bx＋c>0(a>0) ax2＋bx＋c<0(a>0)

R

{x|x1

∅

∅

解一元二次不等式通常先将不等式化为ax2bxc0或ax2bxc0 (a0)的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间； 2．分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理；

3．高次不等式主要利用“序轴标根法”解．

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考点一【小题全取】

1．(教材习题改编)不等式x(1－2x)＞0的解集是(

) 1A.－∞，

21C．(－∞，0)∪，＋∞

2

1B.0，

21D.，＋∞

2答案：B 122．求不等式 的解集_________ x|x4x4x102

23．求不等式 的解集_________ x2x302xx的解集是（ D ）

4．不等式A.,0 B.(0,1) C. 1, D.,0(1,)

5．若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B={x∈N*|x≤5}，则 A∩B是( B ) A．{1,2,3} B．{1,2} C．{4,5} D．{1,2,3,4,5}

x|2x1或26.不等式 的解集_________ 20xx24x3

2x7.关于 x/1x2x的不等式axb0的解集为 ,则 _-1_______ 8.不等式

3 ab11的解集为_________

或x2x/x1x1

9．解下列不等式：

【由题悟法】

解一元二次不等式的一般步骤：

(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2＋bx＋c＞0(a＞0)，ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；

(2)计算相应的判别式；

(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；

(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．

（二）含参数的一元二次不等式的解法

解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．

【典型例题】

例1：若a0，则不等式x2ax3a0的解集为_________

变式1：若aR，则不等式x2ax3a0的解集为_________ 分类讨论：二次项系数大于0，讨论两根大小

32≤1－. x－2x＋222224

变式2 :不等式x2x3a0的解集为_____

分类讨论：讨论判别式的大小

2变式3 不等式ax2x3a0的解集为____ 2

分类讨论：二次项系数为参数，则讨论参数是否为0，大于0或小于0 2变式4 不等式

(a1)x2x3a0的解集为______ 分类讨论：二次项系数是否为0，大于0或小于0

【由题悟法】

对于解含有参数的二次不等式一般讨论的顺序是：

（1）讨论二次项系数为0，这决定此不等式是否为二次不等式。

（2）当二次项系数不为0时，讨论判别式是否大于0. （3）当判别式大于0时，讨论二次项系数是否大于0，这决定所求不等式的不等号的方向。

（4）判断二次不等式两根的大小。

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（三）一元二次不等式恒成立问题

一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围．

常见的命题角度有：

(1)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围；

(2)形如f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数范围；

(3)形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围．

角度一：形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围

1．已知不等式mx2－2x－m＋1＜0，是否存在实数m对所有的实数x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

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[由题悟法] 方法

解读

适合题型

ax2＋bx＋c≥0对任意实数x恒成立的条判别

件是

a00

二次不等式在R上式法

(2)ax2＋bx＋c≤0对任意实数x恒成立的恒成立

a0条件是0



角度二：形如f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数范围

2．设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．

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[由题悟法]

方法

解读

适合题型

如果不等式中的参数比较“孤单”，分离后适合参分离参

其系数与0能比较大小，便可将参数分离出来，数与变量能数法

利用下面的结论求解．a≥f(x)恒成立等价于a分离且f(x)≥f(x)max；a≤f(x)恒成立等价于a≤f(x)min

的最值易求

角度三：形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围

3．对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．

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[由题悟法]

方法

解读

适合题型

把变元与参数交换位置，构造以参数为变若在分离量的函数，根据原变量的取值范围列式求参数时会遇到解．常见的是转化为一次函数f(x)＝ax＋讨论参数与变主参换

b(a≠0)在[m，n]恒成立问题，若f(x)>0 量，使求函数的位法

f(m)0恒成立⇔f(n)0

最值比较麻烦，

或者即使能容若f(x)<0恒成立⇔f(m)0易分离出却难f(n)0

以求出时

（四）这节课你的收获是什么？

（1）一元二次不等式的解法

（2）含参数的一元二次不等式的解法

（3）一元二次不等式的恒成立问题

（五）

作业：课时跟踪检测（三十六）

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