阅读与思考 错在哪儿公开课教案（教学设计）

3．3.2 简单的线性规划问题

一、自能预习

1、回顾：二元一次方程和不等式分别表示什么图形？

（1）二元一次方程：Ax+By+C=0表示 一条直线 。

（2）二元一次不等式Ax+By+C>0表示 直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的半平面区域。

2、线性规划问题几个重要概念

（1）．线性约束条件：由关于x，y的一次不等式形成的约束条件

（2）．线性目标函数：由关于两个变量x，y一次式形成的函数

（3）．线性规划问题：在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

（4）．可行解：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解

（5）．可行域：由所有可行解组成的集合叫可行域

（6）．最优解：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解

3、线性规划问题的求解步骤： （1）画可行域：画出线性约束条件所确定的平面区域；

（2）作直线l0：过原点作目标函数所表示的直线的平行直线l0; (3）平移定位：平移直线l0 ，确定可行域内最优解的位置；

（4）求最值：解有关方程组求出最优解，将最优解代入目标函数求最值.

二、自能合作

x－4y≤－3，题型1．设z＝2x＋y，式中变量x，y满足条件3x＋5y≤25，求z的最大值和x≥1.最小值．

解析：第一步：作可行域。如下图所示．

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第二步；把z＝2x＋y变形为y＝－2x＋z， 得到斜率为k=－2，

令z=0,作直线l :y＝－2x. (过原点) 0第三步：由图可以看出，z＝2x＋y为在y轴上的截距为z，随z变化的一簇平行直线．当直线y＝－2x＋z平移经过可行域上的点A时，截距z最大，经过点B时，截距z最小．

x－4y＋3＝0，第四步：解方程组得A点坐标为(5，2)．

3x＋5y－25＝0，x＝1，解方程组得B点坐标为(1，1)，

x－4y＋3＝0，所以zmax＝2×5＋2＝12，zmin＝2×1＋1＝3. 三、自能小结

1、画直线方法

截距法：找与两轴交点(x,0)和（0，y）

2、画可行域的方法

方法一：直线定边界，特殊点定域

注 意：［通常取点（0，0），或（1，0）］

方法二：直线定边界，口诀定区域

边界直线：ax+by+c=0. 两侧大小口诀：

a>0,右大左小；a<0,左大右小；b<0,上大下小；b>0,下大上小。

3、画直线l0方法：

令目标函数：w=ax+by=0 得：y=kx(过原点) 注意：（1）、直线l0与同方向边界直线的倾斜程度。 （2）、斜率k符号决定方向，数值决定倾斜程度。

4、找最值点（最优解）方法：

截距法：由w=ax+by,得ya1xw（斜截式）

bb（口诀：b>0,上大下小，b<0,下大上小 ； a>0,右大左小；a<0,左大右小；）

5、求最值点（最优解）方法：

求交点坐标：联立两个方程，求公共解。

6、求最值方法：

代最值点坐标求解

7、解答线性规划问题的一般步骤：

简记为：“画域，作线，定位，求值”四步

四个字：域、线、位、值。

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四、自能练习

x＋y≥1，1．设x，y满足约束条件x－y≥－1，则z＝x＋2y的最小值是________，2x－y≤2，最大值是________．

解析：如图所示，由题意得A(3，4)，由图可以看出，直线x＋2y＝z过点(1，0)时，zmin＝1，过点(3，4)时，zmax＝3＋2×4＝11.

2、

2x＋y≥4，设x，y满足x－y≥－1，则z＝x＋y( x－2y≤2，

) A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值

C．有最大值3，无最小值 D．既无最小值，也无最大值

解析：如图，作出不等式组表示的可行域，

当z＝x＋y过点(2，0)时，截距z最小，

即z有最小值，但z没有最大值．

答案：B

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五、自能拓展

题型3 线性目标函数中y前符号不同，对最优解的影响

x－y＋5≥0，3、已知x，y满足不等式组x＋y－1≥0，请完成下列问题．

x≤3，(1)在坐标平面内，画出不等式组所表示的平面区域(用阴影表示)；

(2)求出目标函数z＝2x＋y的最小值和目标函数z＝2x－y的最大值．

题型4 线性规划的应用题

4 某厂准备生产甲、乙两种适销产品，每件收入分别为3千元，2千元．甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B上加工一件甲产品所需工时分别为1工时、2工时，加工一件乙产品所需工时分别为2工时、1工时，A，B两种设备每月有效使用台时数分别为400和500.如何安排生产可使收入最大？

六、自能归纳

七、课后作业

2010——2017年全国卷文科-高考真题（线性规划）

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