小结优质课教案

第一章复习参考

二项式定理习题课

一．教学目标：

1.

知识与技能：能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念，会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题．

2.

过程与方法：通过学生参与和探究二项式定理5种题型的过程，培养学生观察，分析，概括的能力，提升学生的化归意识及方法迁移的能力。

3.

情感态度与价值观：让学生感受数学的美，进一步提升学生对数学的兴趣。

二．教学重点：二项式定理的各类应用

三．教学难点：乘积二项式及三项展开式问题

四．教学过程：

1．二项式定理及其相关概念

二项式定理

二项式系数

通项

二项式定理的特例

2.二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律) mn(1)对称性：Cn＝Cn－mn1n1nkkn公式(a＋b)n＝C0b＋…＋Ckb＋…＋Cn称为二项式定理

na＋Cnananb，－－Ckn(k＝0,1，…，n) nkkTk＋1＝Ckb(k＝0,1，…n) na－012kknn(1＋x)n＝Cn＋Cnx＋C2nx＋…＋Cnx＋…＋Cnx

；

k1k(2)性质：Ckn＋1＝Cn＋Cn；

－(3)二项式系数的最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值，即C最大；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即Cn12nn2nCn12n最大；

012nn(4)二项式系数之和：Cn＋Cn＋Cn＋…＋Crn＋…＋Cn＝2，所用方法是赋值法．

命题角度1 乘积二项式

例1

(1)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝________. (2)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝________.

答案

(1)120

(2)－1 解析

(1)f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3) 0211203＝C36C4＋C6C4＋C6C4＋C6C4＝120. (2)(1＋ax)(1＋x)5＝(1＋x)5＋ax(1＋x)5. 1∴x2的系数为C25＋aC5，

则10＋5a＝5，解得a＝－1. 反思与感悟

两个二项式乘积的展开式中特定项问题

(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点．

(2)找到构成展开式中特定项的组成部分．

(3)分别求解再相乘，求和即得．

a1跟踪训练1

(x＋)(2x－)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为(

) xxA．－40

B．－20

C．20

D．40 答案

D 解析

令x＝1，得(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1，

1111故(x＋)(2x－)5的展开式中常数项即为(2x－)5的展开式中与x的系数之和．

xxxx15－k5－2k(2x－)5的展开式的通项为Tk＋1＝Ckx(－1)k，

52x令5－2k＝1，得k＝2，

52∴展开式中x的系数为C2×(－1)2＝80，

5×2－令5－2k＝－1，得k＝3，

1－3∴展开式中的系数为C5×253×(－1)3＝－40，

x11∴(x＋)(2x－)5的展开式中常数项为80－40＝40. xx命题角度2 三项展开式

例2

求(x2＋3x－4)4的展开式中x的系数．

24123222解

方法一

(x2＋3x－4)4＝[(x＋3x)－4]4＝C04＋C24－C34(x＋3x)－C4(x＋3x)·4(x＋3x)·42(x2＋3x)·43＋C444，

4·显然，上式中只有第四项中含x的项，所以展开式中含x的项的系数是－C33·43＝－768. 4·413223404方法二

(x2＋3x－4)4＝[(x－1)(x＋4)]4＝(x－1)4·(x＋4)4＝(C04x－C4x＋C4x－C4x＋C4)(C4x322433＋C14＋C24＋C343＋C444)，所以展开式中含x的项的系数是－C34x·4x·4x·4·44＋C44＝－768. 反思与感悟

三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方法，因式分解，项与项结合，项与项结合时，要注意合理性和简捷性．

命题角度3 整除问题

例3

今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期(

) A．一

B．二

C．三

D．四

答案

A 解析

求第810天是星期几，实质是求810除以7的余数，应用二项式定理将数变形求余数．

99*因为810＝(7＋1)10＝710＋C110×7＋…＋C10×7＋1＝7M＋1(M∈N)，

所以第810天相当于第1天，故为星期一．

反思与感悟

(1)利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了．

(2)解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．

命题角度4

系数最大项

命题角度5

赋值法

五．课后作业：

1．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为(

) A．30

C．15

答案

C k3解析

因为(1＋x)6的展开式的第(k＋1)项为Tk＋1＝Ckx(1＋x)6的展开式中含x3的项为C26x，6xB．20 D．10 ＝15x3，所以系数为15.

1x2＋2－23的展开式中常数项为(

) 2.xA．－8

B．－12

C．－20

D．20 答案

C 11k6－2kx2＋2－23＝x－6展开式的通项公式为Tk＋1＝Ck解析

(－1)x.令6－2k＝0解得k＝6xx3. 故展开式中的常数项为－C36＝－20. 13．当n为正奇数时，7n＋C17n1＋C27n2＋…＋Cn7被9除所得的余数是(

) n·n·n·－－－A．0

B．2

C．7

D．8 答案

C nnn1n11解析

原式＝(7＋1)n－Cn9＋C29n2－…＋Cn9(－1)nn＝8－1＝(9－1)－1＝9－Cn·n·n·－－－－1＋(－1)n－1.因为n为正奇数，所以(－1)n－1＝－2＝－9＋7，所以余数为7. a4．已知x－5的展开式中含x2的项的系数为30，则a等于(

) xA.3

B．－3

C．6

D．－6 答案

D a5x－解析

的展开式通项Tk＋1＝Ck5xx则k＝1，

1∴T2＝－aC55k23x(－1)a·kkk2＝(－1)kakCk5x5k253，令－k＝，22x，∴－aC15＝30，∴a＝－6，故选D. 325．若(x－m)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，其中a5＝56，则a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝________. 答案

128 解析

由已知条件可得a5＝C3(－m)3＝－56m3＝56，∴m＝－1，

8·1＋18＋－1＋18则a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝＝128. 2六．小结：

1．两个二项展开式乘积的展开式中特定项问题

(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点．

(2)找到构成展开式中特定项的组成部分．

(3)分别求解再相乘，求和即得．

2．三项或三项以上的展开问题

应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注意合理性和简捷性．

3．用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者前面)一、二项就可以了．

4．求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入．

5．确定二项展开式中的最大或最小项：利用二项式系数的性质．