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第一章

计数原理

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专题探究

专题一

两个计数原理

分类计数原理和分步计数原理是本部分内容的基础．在应用题的考查中，经常要用它对问题进行分类或分步分析求解，如何灵活利用这两个原理对问题进行分析往往是解应用题的关键．两个原理的共同之处是研究做一件事，完成它共有的方法种数问题，而它们的主要差异是“分类”与“分步”．分类计数原理的特点是：类与类相互独立，每类方法均可独立完成这件事(可类比物理中的“并联”电路来理解)；分步计数原理的特点是：步与步相互依存，且只有当所有步骤均完成了(每个步骤缺一不可)，这件事才算完成(可类比物理中的“串联”电路来理解)．运用时要掌握其计数本质，合理恰当地运用两个原理．

排列组合是解决计数问题的一种重要方法．但要注意，计数问题的基本原理是分步计数原理和分类计数原理，是最普遍使用的，不要把计数问题等同于排列组合问题．

【例1】某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为(

) A．14 B．16 C．20 D．48 思路点拨：根据题意分成两类，一类是甲企业有1人发言，另两个发言人出自其余4家企业，另一类是3人全来自其余4家企业，采用分类加法和分步乘法计数原理可得解．

解析：分两类，

第一类：甲企业有1人发言，有2种情况，另两个发言人出自其余4家企业，有6种情况，由分步乘法计数原理，得N1＝2×6＝12；

第二类：3人全来自其余4家企业，有4种情况．

综上可知，共有N＝N1＋N2＝12＋4＝16种情况．

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答案：B 专题二

排列与组合应用题求解策略

将具体问题抽象为排列问题或组合问题，是解排列、组合应用题的关键一步．(1)正确分类或分步，恰当选择两个计数原理．(2)有限制条件的排列组合问题应优先考虑“受限元素”或“受限位置”．而排列组合讨论的问题共同点是“元素不相同”，不同点是排列与顺序有关，组合与顺序无关．

【例2】在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有______个．

解析：解法一：1,2,3,4,5组成无重复五位数，大于23145且小于43521的有

(1)形如∴有1个数合要求．

(2)形如12后两位只能填5,4，

第三位选4或5都满足要求，后两位任选都可．

∴符合要求的数有C2·A2＝4个．

(3)形如3C12·A3＝12个．

第二位选4或5，后三位任选，符合要求的数有(4)形如(5)形如C2·A3＝12个．同理形如13第二位开始，均可任选，符合要求的数有A4

4＝24个．第二位选1或2，后三位任选，符合要求的数有符合要求的数有2A2＝4个，形如2符合要求的数有1个．

∴符合要求的数有(1＋4＋12)×2＋24＝58个．

解法二：可用类似方法算出小于43521的5位数个数与小于等于23145的五位数个数．两数之差即为小于43521且大于23145的五位数个数．

答案：58 专题三

二项式定理的应用

对于二项式定理的考查常出现两类问题，一类是直接运用通项公式来求特定项．另一类，需要运用转化思想化归为二项式定理来处理问题．从近几年高考命题趋势来看，对于本部分知识的考查以基础知识和基本技能为主，难度不大，但不排除与其他知识的交汇，具体归纳如下：

(1)考查通项公式问题．

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(2)考查系数问题：

①涉及项的系数、二项式系数以及系数的和．

②一般采用通项公式或赋值法解决．

(3)可转化为二项式定理解决问题．

353【例3】(1＋2x)(1－x)的展开式中x的系数是(

) A．－4 B．－2 C．2 D．4 思路点拨：利用(a＋b)展开式中第r＋1项Tr＋1＝Cna开，确定x的系数．

353解析：(1＋2x)(1－x)

＝(1＋6x＋12x＋8x)(1－5x＋10x－10x＋5x－x)，

12321323nrn－rrb(r＝0,1,2，…，n)将两项展4353x的系数是－10＋12＝2. 答案：C 31n【例4】2＋展开式中的第7项与倒数第7项的比是1∶6，则展开式中的第733项为________．

思路点拨：本题是应用二项式定理通项公式的典型问题，解答本题的关键是利用方程思想列出方程，求出n. 116n－636n－6，

解析：第7项：T7＝Cn(2)，倒数第7项：T2)n－5＝Cn(333363n－6Cn由Cnn－6631n－662331＝，

1636n－6233∴n＝9，

115669－663故T7＝C9(2)3＝C9·2·＝. 3933答案：56

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