1.3 实习作业优质课一等奖

《正弦定理》教学设计

一、

教材分析

《正弦定理》是人教版教材必修五第一章《解三角形》的第一节内容，也是三角形理论中的一个重要内容，与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系。在此之前，学生已经学习过了正弦函数和余弦函数，知识储备已足够。它是后续课程中解三角形的理论依据，也是解决实际生活中许多测量问题的工具。因此熟练掌握正弦定理能为接下来学习解三角形打下坚实基础，并能在实际应用中灵活变通。

本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（人教A版）第一章，正弦定理第一课时，是在高二学生学习了三角等知识之后，显然是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，因而定理本身的应用又十分广泛。

根据实际教学处理，正弦定理这部分内容共分为三个层次：第一层次教师通过引导学生对实际问题的探索，并大胆提出猜想；第二层次由猜想入手，带着疑问，以及特殊三角形中边角的关系的验证，通过“作高法”、“外接圆法”、“

向量法”等多种方法证明正弦定理，验证猜想的正确性；第三层次利用正弦定理解决引例，最后进行简单的应用。学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明，感受“观察——实验——猜想——证明——应用”这一思维方法，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。

二、学情分析

根据上述教材内容分析，对普高高二的学生来说，已学的平面几何，解直角三角形，三角函数，向量等知识，有一定观察分析、解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制约。根据以上特点，考虑到学生已有的认知结构心理特征及原有知识水平，教师恰当引导，提高学生学习主动性，多加以前后知识间的联系，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。

三、设计思想：

本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的

1

能力和创造性思维的能力。

四、教学目标：

知识目标：理解并掌握正弦定理的证明，运用正弦定理解三角形。

能力目标：探索正弦定理的证明过程，用归纳法得出结论，并能掌握多种证明方法。

情感目标：通过推导得出正弦定理，让学生感受数学公式的整洁对称美和数学的实际应用价值。

三、教学重难点：

教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用。

教学难点：正弦定理的探索及证明，已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

四、教学方法：

依据本节课内容的特点，学生的认识规律，本节知识遵循以教师为主导，以学生为主体的指导思想，采用与学生共同探索的教学方法，命题教学的发生型模式，以问题实际为参照对象，激发学生学习数学的好奇心和求知欲，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化，且运用例题和习题来强化内容的掌握，突破重难点。即指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法。学生采用自主式、启发式，合作式、探究式的学习方法，这样能使学生积极参与数学学习活动，培养学生的合作意识和探究精神。

五、教学过程

1、情景导入

我们看一个身边的问题：为了发展经济缓解交通压力，璧山县委县政府在璧南河上新修建一座桥梁，选址有一个条件：尽量使桥身跨度较小，这样能节约工程造价。测量人员在东岸定了目标A，在西岸量得BC之间的距离为5KM,测得，ABC75,ACB60问：是否能根据所测得结果计算出河面的宽度？

由条件知：A180756045,又BC=5KM,则只要计算出AB则江面宽便为A到BC的距离即ABsin75。

如何求出AB呢？这就需要我们去研究三角形中边角关系问题，在三角形ABC中的边角又有何关系呢？这就是我们今天要共同探究的问题：正弦定理。

2

我们这一节所学习的内容就是解决这些问题的有力工具. 2、新课讲解

【师】：请同学们回忆一下，在直角三角形中各个角的正弦是怎么样表示的？

ab【生】：在直角三角形ABC中，sinA,sinB,sinC1

cc【师】：有没有一个量可以把三个式子联系起来？

abc,c,c【生】：边c可以把他们联系起来，即c，也就是说sinAsinBsinCabc在Rt△ABC中

sinAsinBsinC【师】：对，很美、很对称的一个式子，用文字来描述就是：“在一个直角三角形中，各边与它所对角的正弦比相等”，那么在斜三角形中，该式是否也成立呢？ 【师】：对于一般的三角形，上述关系式是否依然成立呢？

设ABC为锐角三角形，其中C为最大角。如图（１）过点A作ADBC于D，ADAD,sinC此时有sinB，所以csinBbsinC，

cbbcac即．同理可得，

sinBsinCsinAsinCabc所以。

sinAsinBsinC

设ABC为钝角三角形，其中C为最大角。

如图（２）过点过点A作ADBC，交BC的延长线于D，

AD此时也有sinB，

cADabc且sinCsin180C．同样可得。

bsinAsinBsinC综上可知，结论成立。

【师】：通过验证我们得到，在任意的三角形中都有各个边和他所对的角的正弦值相等。在上面这个对称的式子中涉及到了三角形三个角的正弦，因此我们把它称为正弦定理，即我们今天的课题。

3

正弦定理:abcsinAsinBsinC（1）文字叙述正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.（2）结构特点和谐美、对称美.（3）方程的观点正弦定理实际上是已知其中三个,求另一个.能否运用向量的方法来证明正弦定理呢?在锐角三角形中B两边同取与j的数量积,得jACCBjABjcajACjCBjAB（根据向量的数量积的定义）AbACcos90jCBcos(90C)证明：过点A作单位向量j垂直Cj于AC，jABcos(90A)j与AC的夹角为即asinCcsinA90，j与CB的夹角为ac90C，sinAsinCj与AB的夹角为同理,过C点作j垂直于CB，可得90A.由向量加法的三角形法则csinCbsinB,在锐角三角形中ACCBAB也有asinAbsinBcsinC

4

在钝角三角形中设A900过点A作与AC垂直的单位向量j,则j与AB的夹角为A90Bj与CB的夹角为90CjAC具体证明过程课下完成!

【师】：还有其它证明方法吗？比如：abc、、都等于同一个比值k，sinAsinBsinC那么它们也相等，这个k到底有没有什么特殊几何意义呢？

【生】：：在前面的检验中，RtABC中，abcc，c恰为外接接圆的直径，即sinAsinBsinCck2R，所以作ABC的外接圆O，O为圆心，连接B'

C

BO并延长交圆O于B'，把一般三角形转化为直角三角O形。

证明：连续BO并延长交圆于B'

B'AB90，B'C 在RtB'AB中，ABBB

sinB'ABABcB'B2R 即2R

sinB'sinCsinCab2R，2R

同理可证：sinAsinBabc2R

sinAsinBsinCA

B

【师】：经过上面的证明，我们用三种方法得到了正弦定理的证明，并且得到了正弦定理对于直角、锐角、钝角三角形都是成立的。

【师】：大家观察一下正弦定理的这个式子，它是一个比例式。对于一个比例式来说，如果我们知道其中的三项，那么就可以根据比例的运算性质得到

5

第四项。因此正弦定理的应用主要有哪些呢？

【生】：已知三角形的两边一其中一边的对角求另外一边的对角，或者两角一边求出另外一边。

【师】：其实大家如果联系三角形的内角和公式的话，其实只要有上面的任意一个条件，我们都可以解出三角形中所有的未知边和角。下面我们来看正弦定理的一些应用。

3、例题讲解：

例1：在ABC中，已知C75，B60，a8cm，则b= 分析“已知三角形中两角及一边，求其他元素”，第一步可由三角形内角和为180求出第三个角∠C，再由正弦定理求b。

解：A1800BC1800600750450

由正弦定理ab8b

得

00sinAsinBsin45sin60解得b46

例2：在ABC中，

a14,B600,b76，求A 解：由正弦定理ab14762，

得

，解得。

sinAsinAsinBsinAsin6002在ABC中，00A1800

，所以A450

或A1350

。

当A1350时，AB1800不合题意，

所以A450

4、课堂练习：

1.在△ABC中，已知下列条件，解三角形(边长精确到1cm): oo(1) A＝45，C＝30，c＝10cm；

oo(2) A＝60，B＝45，c＝20cm. 5、课堂小结

【师】：本节课的主要内容是正弦定理，即三角形ABC中有每条边和它所对的角abc的正弦值相等。写成数学式子就是。并且一起研究了他的证sinAsinBsinC明方法，利用它解决了一些解三角形问题。其实对于正弦定理的证明，还有很多别的方法，有兴趣的同学下去之后可以自己去了解一下。

6

6、作业布置

教材第10页，习题1.1，A组第一题、第二题。

六、教学反思：

这节课我们学到了什么？（正弦定理的形式？正弦定理的适应范围？正弦定理的证明方法？）

1、我们从直角、锐角、钝角三类三角形出发，运用分类的方法通过猜想、abc证明得到了正弦定理，它揭示了任意三角形边和其所对的角sinAsinBsinC的正弦值的关系。

2、运用正弦定理解决了我们所要解决的实际问题。在解三角形中，若已知两角和一边，或者已知两边和其中一边所对的角可以用正弦定理来解决。但在第二种情况下，运用正弦定理需要考虑多解的情况。

3、正弦定理的证明还可以运用向量法和作三角形的外接圆来证明。其中通abc2R.这是对正弦定理的补充。

过作外接圆可以得到sinAsinBsinC七、评价分析

这堂课由实际问题出发，引导学生探索研究三角形中边角关系，展示了一个完整的数学探究过程。提出问题、发现规律、推到证明，定理应用，让学生经历了知识再发现的过程，促进了个性化学习。在教学过程中，使学生体会认识事物由特殊到一般，再由一般到特殊的规律，体会分类讨论、数形结合的数学思想方法，并提高运用所学知识解决实际问题的能力。通过学习和运用，进一步使学生体会数学的科学价值、应用价值，进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化素养。

7