1.3 二项式定理（通用）教学实录

二项式定理应用（1）

一、教学目标

1.

掌握二项式定理及二项式通项公式，并熟练地进行二项式展开和求解二项式某些指定项。

2.

通过探索二项式定理，引导学生会解决二项式系数的最大值和系数最大的问题，培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力。

3.

引导学生用赋值法求系数和问题，激发学生学习兴趣，培养学生不断探索发现新知的精神，通过数学的对称美培养学生的审美意识。

二、教学重难点

1、二项式展开式及通项公式的运用

2、二项式系数最大值及系数最大值问题

3、系数和问题及赋值法的运用

三、知识点引入

1．二项式定理

二项式定理

二项展开式的通项公式

二项式系数

n1n－11n－kkn*(a＋b)n＝C0b＋…＋Ckb＋…＋Cnna＋Cnananb(n∈N) n－kkTk＋1＝Ckb，它表示第k＋1项

na二项展开式中各项的系数Ckn(k∈{0,1,2，…，n}) 2.二项式系数的性质

n－kkn－k(1)0≤k≤n时，Ckn与Cn的关系是Cn＝Cn. (2)二项式系数先增后减中间项最大

nn当n为偶数时，第2＋1项的二项式系数最大，最大值为C2n；当n为奇数时，第n＋1n＋3项和22项的二项式系数最大，最大值为

01nn024135(3)各二项式系数和：Cn＋Cn＋C2n＋…＋Cn＝2，Cn＋Cn＋Cn＋…＝Cn＋Cn＋Cn＋…＝2n－1. 四、例题训练

1）展开式通项公式问题

1、(2016·高考全国乙卷)(2x＋x)5的展开式中，x3的系数是________．(用数字填写答案) 5－r解析：Tr＋1＝Cr·(x)r＝25－rCr5(2x)5·，令

r5－2＝3，得r＝4，∴T5＝10x3，∴x3的系数为10. 答案：10 12、(2017·河北唐山一模)x2＋x2－23展开式中的常数项为(

) A．－8

C．－20

B．－12 D．20 11r16－rrr6－2r－解析：∵x2＋x2－23＝x－x6，∴Tr＋1＝Crx＝C(－1)x，令6－2r66x3＝0，得r＝3，∴常数项为C36(－1)＝－20. 答案：C 3、(2015·高考课标全国卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(

) A．10

C．30

B．20 D．60 解析：法一：利用二项展开式的通项公式求解．

(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，

22含y2的项为T3＝C5(x＋x)3·y2. 415其中(x2＋x)3中含x5的项为C1x＝C3x. 3x·1所以x5y2的系数为C25C3＝30.故选C. 法二：利用组合知识求解．

(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，21所以x5y2的系数为C25C3C1＝30. 答案：C [小结]

求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，含字母的指数符合要求求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等，解出项数k＋1，代回通项公式即可. 2）最大值问题

在本例(1)中，求展开式中系数最大的项是第几项．

解：设第r＋1项的系数最大，Tr＋1＝25－rCr5·－1第r项的系数为26－rCr5

＋1第r＋2项的系数为24－rCr5

，r＝0

5－rr6－rr－12C5≥2C5∴5－rr4－rr＋1，1≤r≤3 2C5≥2C5

当r＝1时，T2＝当r＝2时，T3＝当r＝3时，T4＝

故系数最大的项为T2或T3. 3）系数和问题

4、在(2x－3y)10的展开式中，求：

(1)二项式系数的和；

(2)各项系数的和；

(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；

(4)奇数项系数和与偶数项系数和；

(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．

解：设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*) 各项系数和为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10. 由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．

01010(1)二项式系数的和为C10＋C110＋…＋C10＝2. (2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1. 0109(3)奇数项的二项式系数和为C10＋C210＋…＋C10＝2，

399偶数项的二项式系数和为C110＋C10＋…＋C10＝2. (4)令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①

令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，

得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②

①＋②得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，

1＋510∴奇数项系数和为2；

①－②得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，

1－510∴偶数项系数和为2. 1－510(5)x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9＝2；

1＋510x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10＝2. [小结]

1“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如ax＋bn、ax2＋bx＋cma、b∈R的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如ax＋byna，b∈R的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可. 2若fx＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则fx展开式中各项系数之和为f1，奇数f1＋f－1项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…2f1－f－1＝. 2五、课后练习

15a1.x＋x2x－x的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为(

) A．－40

C．20

B．－20 D．40 2．(2017·广西来宾一中检测)(1－x＋x2)3(1－2x2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a14x14，则a1＋a3＋a5＋…＋a13的值为________．

3．判断下列结论的正误(正确的打“√”错误的打“×”) n－rr(1)Crb是二项展开式的第r项．(×) na(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(×) (3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(√) (4)在(1－x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．(×) (5)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.(×) (6)在(x＋1)n的展开式中，每一项的二项式系数就是这项的系数．(√) (7)(a＋b)n与(b＋a)n的展开式中通项公式是一样的．(×) －1(8)(x－y)n的展开式中，第m项的系数为(－1)mCmn.(×) (9)(1＋2x)5的展开式中含x的项的系数为5.(×)

x12－3n的展开式中不可能有常数项．(×) (10)x