3.2.2 复数代数形式的乘除运算教学设计(第一课时)

3.2.2

复数代数形式的乘除运算

学习目标：

1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算．

2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．

3.了解共轭复数的概念．(难点)

重

点：理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．

难

点：了解共轭复数的概念．

[自

主

预

习·探

新

知] 1．复数代数形式的乘法法则

(1)复数代数形式的乘法法则

已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 思考1：复数的乘法与多项式的乘法有何不同？

[提示]复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．

(2)复数乘法的运算律

对于任意z1，z2，z3∈C，有

交换律

结合律

乘法对加法的分配律

思考2：|z|2＝z2，正确吗？

[提示]不正确．例如，|i|2＝1，而i2＝－1. 2．共轭复数

如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用z表示．即z＝a＋bi，则z＝a－bi. 3．复数代数形式的除法法则

(a＋bi)÷(c＋di)＝ac＋bdbc－ad＋i(c＋di≠0) c2＋d2c2＋d2z1·z2＝z2·z1

(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) z1(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3

[合

作

探

究·攻

重

难] 复数乘法的运算

例1：计算：

①(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；

②(3＋4i)(3－4i)；

③(1＋i)2. (1)[解析]

z＝(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i，因为对应的点在第二象限，所a＋1<0以，解得a<－1 ，故选B 1－a>0[答案]

B

(2)①(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i；

②(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25；

③(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i. [规律方法]

1．两个复数代数形式乘法的一般方法

复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等

2．常用公式

(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)；

(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；

(3)(1±i)2＝±2i. [跟踪训练] 1．(1)下列各式的运算结果为纯虚数的是(

) A．i(1＋i)2

C．(1＋i)2

B．i2(1－i) D．i(1＋i)

(2)复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________.

复数除法的运算

例2(1)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别

→→z1是OA，OB，则复数z对应的点位于(

) 2A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

1＋i71－i73－4i2＋2i3(2)计算：＋－. 1－i1＋i4＋3iz1－2－i(1)[解析]

由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i，所以＝＝－1z2i＋2i，对应的点在第二象限．

[答案]

B

31＋i1－i83－4i1＋i(2)原式＝[(1＋i)2]3·＋[(1－i)2]3·－＝(2i)3·i＋(－1－i1＋i3－4ii8·2i1＋i2i)·(－i)－＝8＋8－16－16i＝－16i. i3[规律方法]

1．两个复数代数形式的除法运算步骤

(1)首先将除式写为分式；

(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；

(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．

2．常用公式

1＋i1－i1(1)i＝－i；(2)＝i；(3)＝－i. 1－i1＋i[跟踪训练] 1＋z2．(1)设复数z满足＝i，则|z|＝(

) 1－zA．1

C．3

(2)计算：

7＋i－1＋i2＋i①；②

3＋4i－iB．2 D．2

(1)A

[由1＋z＝i得1＋z＝i(1－z)，

1－z－1＋i－1＋i1－i－1－i2即z＝，z＝＝＝i，

21＋i1＋i1－i|z|＝1，选A.] (2)①②

7＋i7＋i3－4i25－25i＝＝25＝1－i. 3＋4i3＋4i3－4i－1＋i2＋i－3＋i－3＋i·i＝＝＝－1－3i. －i－i－i·i