2.基本不等式优质公开课教案

《基本不等式》教学设计

一、教材分析

1、本节教材的地位和作用 “基本不等式”

是必修5和选修4-5的重点内容，在课本封面上就体现出来了（展示课本和参考书封面）。它是在学完“不等式的性质”、“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究．在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。求最值又是高考的热点。同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。 ２、

教学目标

（1）知识目标:探索基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决最值问题。

（2）能力目标:培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等思维能力。

（3）情感目标:培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣和勇于探索的精神。 ３、教学重点、难点

根据课程标准制定如下的教学重点、难点

重点: 应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索基本不等式。

难点:基本不等式的内涵及几何意义的挖掘，用基本不等式求最值。

二、教法说明

本节课借助几何画板，使用多媒体辅助进行直观演示.采用启发式教学法创设问题情景，激发学生开始尝试活动．运用生活中的实际例子,让学生享受解决实际问题的乐趣. 课堂上主要采取对比分析；让学生边议、边评；组织学生学、思、练。通过师生和谐对话,使情感共鸣，让学生的潜能、创造性最大限度发挥，第

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使认知效益最大。让学生爱学、乐学、会学、学会。 三、学法指导

为更好的贯彻课改精神,合理的对学生进行素质教育,在教学中,始终以学生主体，教师为主导.因此我在教学中让学生从不同角度去观察、分析,指导学生解决问题，感受知识的形成过程,培养学生数形结合的意识和能力，让学生学会学习。

四、教学设计

◆运用2002年国际数学家大会会标引入

◆运用分析法证明基本不等式

◆不等式的几何解释

◆基本不等式的应用

1、运用2002年国际数学家大会会标引入

如图，这是在北京召开的第２４届国际数学家大会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情客。（展示风车）

正方形ABCD中,AE⊥BE,BF⊥CF,CG⊥DG,DH⊥AH,设AE=a,BE=b,则正方形的面积为S=＿＿，Rt△ABE,Rt△BCF,Rt△CDG,Rt△ADH是全等三角形，它们的面积之和是S’=＿

从图形中易得，s≥s’,即

a2b22ab问题1：它们有相等的情况吗？何时相等？

问题2：当 a,b为任意实数时，上式还成立吗？（学生积极思考，通过几何画第

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会颜好Ｄ

Ｇ

Ｈ

a Ｆ

Ｃ

Ａ

Ｅ

b a2+b2Ｂ

板帮助学生理解）

一般地，对于任意实数a、b，我们有

a2b22ab当且仅当（重点强调）a=b时，等号成立（合情推理）

问题3：你能给出它的证明吗？（让学生独立证明）

设计意图

（1）运用2002年国际数学家大会会标引入，能让学生进一步体会中国数学的历史悠久，感受数学与生活的联系。

（2）运用此图标能较容易的观察出面积之间的关系，引入基本不等式很直观。

（3）三个思考题为学生创造情景，逐层深入，强化理解．

2、运用分析法证明基本不等式

如果 a＞0,b＞0 , 用

a

和b分别代替a,b。可以得到

(a-b)20a+b2ab(a>0,b>0)也可写成 （强调基本不等式成立的前提条件“正”）（演绎推理）

问题4：你能用不等式的性质直接推导吗？

a+b2ab

要证 ①

a+bab只要证 ②

2

a+b-2ab0要证② ,只要证 ③

(a-b)20要证③ ,只要证

④

显然, ④是成立的.当且仅当a=b时, 不等式中的等号成立.

（强调基本不等式取等的条件“等”）

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设计意图

（1）证明过程课本上是以填空形式出现的，学生能够独立完成，这也能进一步培养学生的自学能力，符合课改精神；

（2）证明过程印证了不等式的正确性，并能加深学生对基本不等式的理解；

（3）此种证明方法是“分析法”，在选修教材的《推理与证明》一章中会重点讲解，此处有必要让学生初步了解。

D 3、不等式的几何解释

如图,AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a,CB=b,点C作垂直于AB的弦DE，连AD,BD,则CD= ,径为 E A B 过半C 问题５：

你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?

（学生积极思考，通过几何画板帮助学生理解）

设计意图

几何直观能启迪思路，帮助理解，因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方面。只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。

4、基本不等式的应用

例１．证明

a+12a(a0)

x+12(x>0)x（学生自己证明）

设计意图

（1）这道例题很简单,多数学生都会仿照课本上的分析思路重新证明,能够练习“分析法”证明不等式的过程；

（２）学生能够加深对基本不等式的理解,a和b不仅仅是一个字母,而是一第

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个符号,它们可以是a、b,也可以是x、y,也可以是一个多项式；

（３）此例不是课本例题,比课本例题简单,这样，循序渐进, 有利于学生理解不等式的内涵。

例2：（1）把36写成两个正数的积，当两个正数取什么值时，它们的和最小？

（2）把18写成两个正数的和，当两个正数取什么值时，它们的积最大？

（让学生分组合作、探究完成）

设计意图

（１）此题目利用基本不等式求最值，包含正用，逆用，体现了基本不等式的应用价值；

（２）强调利用不等式求最值的关键点：“正”“定”“等”；

（3）有利于培养学生团结合作的精神。

ba练习

：（1）若a,b同号，则2 ab（2）P113

练习1.2 设计意图

巩固基本不等式，让学生熟悉公式，并学会应用。

小结：（让学生畅所欲言）

设计意图

有利于发挥学生的主观能动性，突出学生的主体地位。

作业：

必做题：P10 5，6，9，10 若x<0,求x+的最大值选做题：

1x设计意图

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（1）必做题是让学生巩固所学知识，熟练公式应用，强化学生基础知识、基本技能的形成；

（2）选做题达到分层教学的目的，根据学生的实际情况，对他们进行素质教育。

时间安排：引入约5分钟

证明基本不等式约10分钟

几何意义约10分钟

知识应用约15分钟

小结约5分钟

五、板书设计

Ｄ

Ｆ

基本不等式

几何解释

Ｃ

例2 Ｇ

Ａ

2Ｈ

a b a+b2Ｅ

例题讲解例1

小结

Ｂ

a2b22ab分析法证明

作业

教学反思：本节课通过从生活实际问题引入课题，增强学生的学习兴趣，在教学设计上抓住一正二定三相等，通过对基本不等式的顺用逆用，掌握基本不等式的简单的求最值问题，达到本节课的教学目标。本节课主要采用教师引导，学生主动探究知识方法，体现了学生为主体的新课标理念。在此次教学过程的不足之处在于对时间的分配存在问题，造成了前松后紧。

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