2.2.2 直线方程的几种形式ppt课件配套教案内容

2.2.2 直线方程的几种形式

学习目标

1．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式及一般式)，尤其要掌握点斜式、斜截式和一般式．

2．理解直线与二元一次方程的对应关系．

基础知识

1．直线方程的几种形式

名称

点斜式

已知条件

点P(x1，y1)和斜率k 方程

__________

的直线

不包括y轴和平行于y轴斜截式

斜率k和在y轴上的截距b ________

的直线

不包括坐标轴和平行于坐两点式

点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)

在x轴上的截距为a，在y截距式

轴上的截距为b 一般式

——

(a≠0，b≠0)

________

行于坐标轴的直线

A，B不同时为0 __________

标轴的直线

__________ 不包括过原点的直线和平说明

不包括y轴和平行于y轴做一做1－1

直线kx－y＋1＝3k，当k变化时，所有直线都通过定点(

) A．(0,0)

B．(0,1)

C．(3,1)

D．(2,1) 做一做1－2

集合A＝{x|x为直线的斜截式方程}，B＝{x|x为一次函数的解析式}，则集合A，B间的关系为(

) A．A⊆B

B．BA

C．B＝A

D．AB

做一做1－3

若ac＜0，bc＞0，那么直线ax＋by＋c＝0必不过(

) A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

做一做1－4

过点P(2,1)，斜率为－3的直线方程为__________．

2．几种特殊直线的方程

直线方程都是关于x，y的一次方程，关于x，y的一次方程都表示直线，选用点斜式、斜截

式、两点式求直线方程时，要考虑特殊情况下的特殊方程(坐标轴所在直线或垂直于坐标轴的直线或经过原点的直线)．

平行于x轴的直线方程为______．

平行于y轴的直线方程为______(平行于y轴的直线的斜率______)．

过原点的直线方程为______．

x轴的方程是______．

y轴的方程是______(y轴的斜率______)．

知识拓展

在学习直线的斜截式方程时要注意“截距”与“距离”的区别，实际上直线在y轴上的截距是指与y轴交点的纵坐标，而不是交点到原点的距离．

做一做2－1

若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则实数m满足(

) 3A．m≠0

B．m≠－

23C．m≠1

D．m≠1，m≠－，m≠0

2做一做2－2

已知直线过点(1,1)，则(1)垂直于x轴的直线方程为__________；

(2)垂直于y轴的直线方程为__________；

(3)截距相等的直线方程为__________．

重点、难点

1．直线的一般式方程与四种特殊形式之间的转化

剖析：直线方程各种形式之间的转化关系如下．

2．直线方程的几种形式的选择技巧

剖析：(1)直线方程的几种特殊形式都有其使用的局限性，如对于点斜式和斜截式，要求直线的斜率存在，因此，如果选用点斜式或斜截式，应考虑斜率不存在的情况．对于两点式，它不能表示平行或重合于坐标轴的直线．截距式除了不能表示平行或重合于坐标轴的直线外，还不能表示过原点的直线．

那么，如何根据题设条件灵活选取直线方程的形式来求直线方程呢？

一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距或两点选择截距式或两点式．

另外，从所求的问题来看，若求直线与坐标轴围成的三角形的面积或周长，则应选用截距式．

(2)待定系数法是求直线方程最基本、最常用的方法，但要注意选择形式．一般地，已知一点就待定斜率k，但应注意讨论当斜率k不存在时的情形；如果是已知斜率k，一般选择斜截式，待定纵截距b；如果是已知直线与坐标轴围成的三角形的问题就选择截距式，待定横截距和纵截距．一般来说，几个系数待定就应列出几个方程．

有的直线方程可以同时选用几种形式，但选择的形式不同，导致的运算繁简程度就不同．

3．教材中的“？”

函数y＝kx＋b与方程y＝kx＋b，这两种说法的含义相同吗？

剖析：不相同，当k≠0时，函数y＝kx＋b是一次函数，方程y＝kx＋b表示斜率不为0的直线；当k＝0(b≠0)时，函数y＝kx＋b是常数函数，方程y＝kx＋b表示一条平行于x轴的直线．

4．教材中的“思考与讨论”

已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)且x1≠x2，y1≠y2，求直线AB的方程．

y2－y1y2－y1剖析：过A(x1，y1)，B(x2，y2)两点的直线的斜率k＝，由点斜式方程得y－y2＝(xx2－x1x2－x1y－y2x－x2－x2)，变形得＝(x≠x，y≠y)．

y2－y1x2－x11221名师点拨

把两点式的方程化为整式(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，就可以用它来求过平面上任意两点的直线方程．

典型例题

题型一

直线方程的点斜式

例1

求下列直线的方程：

(1)过点P(－4,3)，斜率k＝－2；

(2)过点P(2,－5)，且与x轴平行；

(3)过点P(3,－1)，且与y轴平行．

反思：由点斜式方程可知确定直线方程需要一个点和斜率两个条件，对于斜率为0和斜率不存在时要区别对待．

题型二

直线方程的斜截式

1例2

方程y＝ax＋表示的直线可能是(

) a

反思：根据直线的方程判断直线的形状，通常把直线转化成斜截式的形式，利用斜率和截距

的几何意义作出判断．若直线l的方程是y＝kx＋b，则有

①k＞0，b＞0⇔l仅过第一、二、三象限；

②k＞0，b＝0⇔l仅过第一、三象限；

③k＞0，b＜0⇔l仅过第一、三、四象限；

④k＜0，b＞0⇔l仅过第一、二、四象限；

⑤k＜0，b＝0⇔l仅过第二、四象限；

⑥k＜0，b＜0⇔l仅过第二、三、四象限；

⑦k＝0，b＞0⇔l仅过第一、二象限；

⑧k＝0，b＝0⇔l不过任何象限；

⑨k＝0，b＜0⇔l仅过第三、四象限．

题型三

直线方程的两点式

例3

三角形的顶点是A(－5,0)，B(3,－3)，C(0,2)，求这个三角形的三条边所在直线的方程．

反思：(1)由已知直线上的两点来确定直线方程时可用两点式；

y－y1x－x1(2)一定要注意两点式的对称性：＝(x≠x，y≠y)．

y2－y1x2－x11212题型四

直线方程的一般式

例4

设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．

(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；

(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．

反思：对于与截距有关的问题，一定要注意截距为0的特殊情况，再者对直线方程的一般式往往根据需要将其转化为点斜式、斜截式等．

题型五

易错辨析

例5

求经过点P(2,3)，并且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程．

xy错解：设直线方程为＋＝1，

aa23将x＝2，y＝3代入，得＋＝1，解得a＝5. aa故所求的直线方程为x＋y－5＝0. 错因分析：忘记截距为0的情况，而导致丢解．

例6

求过点M(m,0)和点N(2,1)的直线的方程．

错解：由两点式直线方程得整理得x＋(m－2)y－m＝0. 错因分析：没有分类讨论，而忽视了两点式方程的适用条件为x1≠x2且y1≠y2，因题中已知含参数，故应讨论．

随堂练习

1.过点A(－2,1)且与x轴垂直的直线的方程是(

) y－0x－m＝，

1－02－m

A．x＝－2

B．y＝1

C．x＝1

D．y＝－2 2.在x轴上的截距为2且倾斜角为135°的直线方程为(

) A．y＝－x＋2

B．y＝－x－2 C．y＝x＋2

D．y＝x－2 3.过点P(3,2)和点Q(4,7)的直线方程为__________．

4.已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3,－3)，C(0,2)，求BC边上中线所在的直线方程．

基础知识

参考答案

1．y－y1＝k(x－x1)

y＝kx＋b

做一做1－1

【答案】C 做一做1－2

【答案】B 做一做1－3

【答案】B

y－y1x－x1xy＝(x1≠x2，y1≠y2)

＋＝1

Ax＋By＋C＝0 aby2－y1x2－x1ac【解析】由条件ac＜0，bc＞0知ab＜0，而原方程可化为y＝－x－，

bbac由于－＞0，－＜0，

bb所以直线过第一、三、四象限，不过第二象限．

做一做1－4

【答案】3x＋y－23－1＝0

【解析】依题意得y－1＝－3(x－2)，整理得3x＋y－23－1＝0. 2．y＝a

x＝b

不存在

y＝kx(k≠0)

y＝0

x＝0

不存在

做一做2－1

【答案】C 做一做2－2

【答案】(1)x＝1

(2)y＝1

(3)y＝x或y＝－x＋2 典型例题

例1

解：(1)直线过点P(－4,3)，斜率k＝－2，由点斜式得y－3＝－2(x＋4)，

整理得所求方程为2x＋y＋5＝0. (2)直线过点P(2，－5)，且与x轴平行时，斜率k＝0，

故所求直线方程为y＋5＝0(x－2)，即y＝－5. (3)直线与y轴平行，说明斜率不存在，

又∵过点P(3，－1)，∴直线的方程为x＝3. 例2

【答案】B

11【解析】直线y＝ax＋的斜率是a，在y轴上的截距是.当a＞0时，斜率为正，在y轴上的aa1截距为正，则直线y＝ax＋过第一、二、三象限，四个选项都不符合；当a＜0时，斜率为a1负，在y轴上的截距为负，则直线y＝ax＋过第二、三、四象限，仅有选项B符合．

a例3

解：直线AB过A(－5,0)，B(3，－3)两点，

y－0x－(－5)由两点式得＝，

－3－03－(－5)整理得3x＋8y＋15＝0，这就是AB所在直线的方程．

直线AC过A(－5,0)，C(0,2)两点，

y－0x－(－5)由两点式得＝，

2－00－(－5)整理得2x－5y＋10＝0，这就是AC所在直线的方程．

直线BC过B(3，－3)，C(0,2)两点，

2－(－3)5斜率是k＝＝－. 30－35由点斜式得y－2＝－(x－0)，

3整理得5x＋3y－6＝0，这就是BC所在直线的方程．

例4

解：(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，当然相等．∴a＝2，

方程即为3x＋y＝0. 当a≠2时，截距存在且均不为0，

a－2∴＝a－2，即a＋1＝1，

a＋1∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0. (2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，

－(a＋1)>0，－a＋∴或a－2≤0a－2≤0，

＝0，

∴a≤－1. 综上，a的取值范围是a≤－1. 例5

正解1：(1)当截距为0时，直线l过点(0,0)，(2,3)，

3－033∴直线l的斜率为k＝＝，∴直线l的方程为y＝x，即3x－2y＝0. 22－02xy(2)当截距不为0时，可设直线l的方程为＋＝1. aa23∵直线l过点P(2,3)，∴＋＝1，∴a＝5. aa∴直线l的方程为x＋y－5＝0. 综上知，直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0. 正解2：由题意知，直线l的斜率存在，且不为0. 设直线方程为y－3＝k(x－2)，且k≠0.

3令x＝0，则y＝3－2k；令y＝0，则x＝2－. k33由题意，知3－2k＝2－，解得k＝或k＝－1. k2

3故满足条件的直线方程是y－3＝(x－2)或y－3＝－(x－2)，

2即3x－2y＝0或x＋y－5＝0. 例6

正解：(1)当m＝2时，过点M(m,0)和点N(2,1)的直线斜率不存在，其方程为x＝2. 0－11(2)当m≠2时，直线的斜率为k＝＝－. m－2m－2又∵直线过点N(2,1)，

1∴直线方程的点斜式为y－1＝－(x－2)，

m－2即x＋(m－2)y－m＝0. ∵当m＝2时，上述方程也就是x－2＝0，即x＝2，

∴所求直线方程为x＋(m－2)y－m＝0. 随堂练习

1．【答案】A

【解析】过点(x0，y0)与x轴垂直的直线的方程是x＝x0，所以所求直线的方程为x＝－2. 2．【答案】A 3．【答案】5x－y－13＝0

【解析】过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的两点式方程为y－y1x－x1＝(x≠x，y≠y)，y2－y1x2－x11212y－2x－3代入点P(3,2)和点Q(4,7)，求得直线方程为＝，整理得5x－y－13＝0. 7－24－3313，－1，－.过A(－5,0)，4．解：设BC的中点为M，由中点坐标公式可得M的坐标为M2222y－0x＋5的直线方程为＝，即x＋13y＋5＝0. 13－－0＋522