2.基本不等式教学设计案例

基本不等式（一）

教学目标：

1．

学会推导并掌握均值不等式定理；

2．

能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题。

教学重点：均值不等式定理的证明及应用。

教学难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。

教学过程：

重要不等式：如果a、b∈R，那么a 2＋b 2

≥2ab（当且仅当a＝b时取“＝”号）

证明：a 2＋b 2－2ab＝（a－b）2

当a≠b时，（a－b）2＞0，当a＝b时，（a－b）2＝0

所以，（a－b）2≥0

即a 2＋b 2

≥2ab

由上面的结论，我们又可得到

a

＋b定理：如果a，b是正数，那么

2

≥ab

（当且仅当a＝b时取“＝”号）

证明：∵（a

）2＋（b

）2≥2ab

a

＋b

a＋b≥2ab

即2

≥ab

a

＋b显然，当且仅当a＝b时，2

＝ab

a

＋b说明：1）我们称2

为a，b的算术平均数，称ab

为a，b的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. a

＋b2）a＋b≥2ab和2

≥ab

成立的条件是不同的：前者只要求a，b都是实数，而 2 2后者要求a，b都是正数. 3）“当且仅当”的含义是充要条件. 4）数列意义

－问：a，b∈R？

例题讲解：

例1 已知x，y都是正数，求证：

（1）如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2P

；

1（2）如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值4

S2

x＋y证明：因为x，y都是正数，所以

2

≥xy

x＋y（1）积xy为定值P时，有2

≥P

∴x＋y≥2P

上式当x＝y时，取“＝”号，因此，当x＝y时，和x＋y有最小值2P

. S1（2）和x＋y为定值S时，有xy

≤2

∴xy≤

4

S 2 1上式当x=y时取“＝”号，因此，当x=y时，积xy有最大值4

S 2. 1 | 2

说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：

ⅰ）函数式中各项必须都是正数; ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；

ⅲ）等号成立条件必须存在。

师：接下来，我们通过练习来进一步熟悉均值定理的应用. 例2 ：已知a、b、c、d都是正数，求证：

（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd

分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识. 证明：由a、b、c、d都是正数，得

ab＋cdac＋bd

≥ab·cd

＞0，22

≥ac·bd

＞0，

∴（ab＋cd）（ac＋bd）

≥abcd

4即（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd

例3

某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理. 解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得

1600l＝240000＋720（x＋x

）≥240000＋720×2＝240000＋720×2×40＝297600 1600当x＝x

，即x＝40时，l有最小值297600 因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元. 评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件. 为了进一步熟悉均值不等式定理在证明不等式与求函数最值中的应用，我们来进行课堂练习. 课本P91练习1，2，3，4. 3．课堂小结

通过本节学习，要求大家掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，，但是在应用时，应注意定理的适用条件。

4．课后作业

P94习题

1，2，3

教学后记：

1600x·x

2 | 2