探究与发现 子集的个数有多少教学实录

人教社·普通高中课程标准实验教科书·数学2-3 1.1探究与发现《子集的个数有多少》教学设计 当阳一中 李涛

一、教材内容和内容解析

本节内容为选学内容，安排在选修2-3册1.1节“分类加法计数原理与分步乘法计数原理”之后，旨在让学生通过计数原理来解决n元集合Aa1,a2,,an的子集个数问题。除了获得“n元集合Aa1,a2,,an的子集有2n个”这一结论之外，还想让学生学到研究问题的方法：从具体事例的分析中得到规律性的猜想，再通过严格的数学推理获得一般结论。

二、

教学问题诊断分析

在必修一中学生已经学习了集合的相关知识，理解了

子集的相关概念，会写出一个集合的子集，但对于“一个n元集合Aa1,a2,,an的子集有多少个？”这个问题，学生可以通过归纳推理猜想出结论，但不能给出严格的证明。在学习两个计数原理之后，学生就可以利用分步乘法计数原理来加以解释了。在用分步乘法计数原理来解决这个问题的过程当中，学生对于如何把确定子集的过程与分步乘法计数原理相结合，会存在一些理解上的困难，这就需要教师加以引导。除了利用上述方法证明这个结论以外，还可以利用二进制数、数学归纳法、组合数等相关知识来加以证明，考虑到学生的认知水平及知识结构，本节课向学生介绍了利用“二进制数”的方法，涉及二进制的表示，数列求和等知识，要求较高，相比前一种方法，学生会遇到更多的困难。

因此，本节课的重点为：利用分步乘法计数原理来证明n元集合Aa1,a2,,an的子集有2n个”这一结论；难点确定为两点：一是在用分步乘法计数原理来解决这个问题的过程当中如何把确定子集的过程与分步乘法计数原-1-

理相结合，二是利用“二进制数”的方法证明该结论。

三、

教学目标解析

根据上述教材地位与内容分析，考虑到学生已有的认知结

构、心理特征，制定如下教学目标：

1、通过计数原理或二进制的有关知识来解决n元集合Aa1,a2,,an的子集个数问题。

2.在结论的推导过程中，学会“从具体事例的分析中得到规律性的猜想，再通过严格的数学推理获得一般结论”这一研究问题的方法。

四、教学过程设计

（一）、问题导入：n元集合Aa1,a2,,an的子集有多少个？

n1时，Aa1，子集有，a1，共两个

n2、3时呢？

猜想：n元集合Aa1,a2,,an的子集有2n个，如何证明？

【设计意图】由部分到整体，归纳推理猜想出结论。

（二）、探究：

1、思考：能否利用计数原理解决上述问题？

对于一个三元集合Aa1,a2,a3，确定它的一个子集S分三步：

第一步，考察元素a1是否在S中，有两种可能a1S,a1S；

第二步，考察元素a2是否在S中，有两种可能a2S,a2S；

第三步，考察元素a3是否在S中，有两种可能a3S,a3S. 由分步乘法计数原理，共有222=23=8个不同的子集. 师：n元集合Aa1,a2,,an的子集个数呢？

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生：确定一个n元集合Aa1,a2,,an的子集分n步，每一步有两种可能，共有222=2n个不同的子集。

【设计意图】通过分步计数原理来解决n元集合Aa1,a2,,an的子集个数问题。

2.还能用另外的方法证明上述结论吗？

用“1”表示某元素在子集中，“0”表示“否”，则上述过程可用表格表示如下：

元素a1

0 0 0 0 1 1 1 1 元素a2

0 0 1 1 0 1 0 1 元素a3

0 1 0 1 0 0 1 1 对应的子集



a3

a2

a2,a3

a1

a1,a2

a1,a3

a1,a2,a3

师：观察以上表格，你有什么发现？

生：每一个子集对应一个三位的二进制数，由000到111共8个，故子集有8个。

师：我们能用二进制的知识解决“n元集合Aa1,a2,,an的子集有多少个”这个问题吗？

生：（讨论得出）n元集合A的每一个子集对应一个n位的二进制数，n位的二进制数000…0（表示0）到11…1（表示2n1）共有2n个，于是n元集合A的子集有2n个。

【设计意图】通过新的证法，开拓学生思维，加深问题的理解。

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（三）、知识拓展：生活中有没有类似的数学模型？

如：高三（12）班有30名同学，现报名参加某项夏令营活动，问有多少种不同的报名结果？

【设计意图】同生活中的实际问题联系，学以致用，加深理解。

（四）课堂小结：本节课你受获了哪些？

1.两种证明“n元集合Aa1,a2,,an的子集有2n个”的方法；

2.研究问题的重要方法：猜想——证明。

【设计意图】通过开放式课堂小结，让学生对本节课的收获进行自我整理与诊断，回收知识与方法。

（五）板书设计：

子集的个数有多少

n元集合Aa1,a2,,an的子集有多少个？ 确定一个n元集合Aa1,a2,,an

的子集分n步，每一步有两种可能，共有

列举，归纳推理 22 2=2n个不同的子集。

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