探究与发现 组合数的两个性质教学内容

1 .

课题的背景与功能

“组合数的性质“是学生学习了函数、数列以及组合数公式等知识的基础上提出来的，它与函数、数列、数学归纳法等知识有内在联系，是进一步学习二项式定理的基础。本课题能使学生系统掌握组合数的有关知识，掌握渗透于知识中的数形结合思想，掌握特殊到一般和一般到特殊的思想以及观察、猜想、证明的思想方法；对培养学生观察、比较、分析、综合、抽象和概括的能力以及合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点有作用，对开发智力、培养数学应用的意识和能力以及科学研究的意识和能力也有重要作用；具有培养学生爱国主义思想、献身科学精神以及合作意识和精神的价值，能使学生在探究过程中，发现数学美，激发他们勇敢地追求美，主动地创造美，从而陶冶学生的情操，培养学生创新的精神。

2. 研究过程设计

第一阶段：课前准备—搭脚手架

课前教师提出下列问题，让学生思考：

问题1 在同一直角坐标系中，画出函数f（x）=

(n=1，2，3，4，5，6，7，x≤n且x∈N*)的图象，根据图象回答下列问题：

(1)函数的图象有何特征？怎样用数量关系来描述这些函数的特征？

(2)请从数与形两个方面来分析函数f（x）=的特征。

设计意图是让学生预习教学内容，查阅与课题有关的资料，在主动求知中扫除部分障碍，为进一步理解构架好底座，并培养良好的学习习惯，同时拓宽学习渠道，在自学范围上实现“超文本”。

第二阶段：研究讨论—解决问题

2.1 创设情境—提出问题

教师先借助计算机显示在同一直角坐标系中函数f（x）=（n=1，2，3，4，5，6，7，

x≤n且x∈N*）的图象，然后提出下列问题：

问题2 (1)函数f（x）=的图像有何特征？有什么性质？（2）怎样证明这些性质？（3）利用性质可解决哪些问题？

设计意图是让学生体验数形结合及特殊到一般和一般到特殊的思想方法。这里教师的任务是：展示创设的问题情境，为学生观察、思考、阅读、讨论、交流等学习活动提供材料。

2.2 独立探究——感知（顿悟）问题

教师先提示学生认真观察每个函数的图象及图象与图象之间的关系，从数与形两个方面加以分析。然后让学生个别学习（允许相互讨论）。

设计意图是通过学生个别学习，让学生自己抽象概括，揭示问题的本质。这里教师的任务是：对学生知识上进行适当的补遗，思维上进行恰当的启迪，方法上进行恰当的点拨，鼓励学生积极、主动地探究，以较高的热情、顽强的意志，完成整个探究过程。

2.3 合作交流——形成共识

当学生对初始问题有了粗略认识后，我提出了以下一些问题供学生讨论交流。

（1）函数f（x）=的图象特征与性质

问题3 请你根据上述函数的图象特征，归纳函数f（x）= 的图象特征与性质。

讨论结果：

生1：函数f（x）=的图象由一些孤立的点组成。

生2：图象具有对称性，即

=；

生3：函数有最大值，当n是偶数时，f(x)的最大值为

；当n是奇数时，f(x)的最大值为

或

。

生4：

= +（在教师启发下完成）。

（2）

组合数性质的证明

问题4 你能证明

=及

= +吗？

讨论结果（略）——揭示课题。

（3）性质的应用

问题5 应用性质可以解决哪些问题？

讨论结果：

①用

=可以化繁为简（具体例子略）；

②用

= +可以证明有关恒等式（具体例子略）；

（4）创新

问题6 用特殊到一般和一般到特殊的思想，可以构造数学问题、发现数学规律，你学了本课内容，还能作哪些创新？

生5：根据图象可得课本中扬辉三角图：

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

…… …… …… …… …… …… …… ……

图（1）

生6：由

+ =可得：

+

+……

=

生7：“扬辉三角图”可得许多恒等式（讨论结果略）。

设计意图是通过合作交流，揭示问题本质，使学生加深对组合数性质的认识，体验数形结合及特殊到一般和一般到特殊的辩证思想，领会观察、猜想、证明的思维方法。这里教师的任务是：提出问题，为学生创设一种环境和氛围，让学生在讨论交流中学习数学。师生、生生之间有效的互动，有助于发展学生评价、判断和交往能力，有助于他们建构知识。

2.4 总结反思——形成新的结构

今天我们以几个具体函数为载体，通过抽象概括得出了函数f（x）=的性质。我们来回顾一下，本课在“问题解决”过程中一般有意义的东西！

（1）

本课的全过程可以概括为：

具体函数的

抽象概括

一般函数的

应用

解决具体问题

图象与性质

图象与性质

（2）解决问题的思想方法：观察 →

猜想 →

证明；特殊到一般和一般到特殊。

（3）利用函数f（x）=的图象可以发现许多有趣的东西，请你用一般到特殊和特殊到一般的思想课后去试一试。

设计意图是使学生对本课所学知识结构有一个清晰的认识，对本课所用的数学思想方法有一个明确的了解，从而使学生在掌握知识的同时，体验相应的思想方法，培养创新能力。这里教师的任务是：概括所学内容的逻辑结构，提炼思想观点，使学生增强新旧知识的联系，形成新的知识网络结构和认知结构，实现共同创新。

第三阶段：任务后延——自主研究

“杨辉三角”图，它是我国宋朝数学家杨辉发现的。杨辉三角有许多有趣的性质，如杨辉三角中的数字与组合数有内在联系，一些直线连接的数字分别构成了一些数列，这些数列有特殊的性质，等等。请大家对其特性进行研究，并撰写一份简单的研究报告。要求：（1）以自愿为原则，4至5人组成一个研究小组，并推选一名组长，负责组织本组的研究成果的整理；（2）对于研究的成果，要进行严格的证明，如果是摘录的结论，请注明出处。（3）三周后进行交流，各研究小组分别委派一名代表宣读论文。

设计意图是使学生进一步意会组合数的性质，增长创新意识，培养发现问题、提出问题和解决问题的能力。

3 .

对学生反馈的预测及调控设计

（1）估计学生发现

= +有困难。

调控设计：引导学生认真观察相邻三点坐标之间的关系。

（2）估计学生利用图象发现新的规律有困难。

调控设计：在合作交流阶段，将时间和空间让给学生，让学生充分发表自己的观点。（3）估计学生对观察、猜想、证明以及特殊到一般和一般到特殊的思想方法认识不

够深刻。

调控设计：在总结阶段，结合本课内容加以说明。

（4）估计学生撰写研究报告有困难。

调控设计：在布置作业阶段，教师作适当指点。