1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用课堂实录【2】

§3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用

教学目标：了解独立性检验的基本思想及其初步应用

教学重难点：

重点：学习独立性检验的基本思想及其初步应用

难点：理解独立性检验的基本思想

教学过程：

一．问题情境

1、有数据表明进食过烫与食道癌的发生有着密切的关系。

2、英国科学家的研究结果显示，长期服用抗生素会对人的嗅觉造成不良影响，甚至会导致嗅觉减退。

如上例中的“是否长期服用抗生素”有“是”或者“否”这两种不同的“值”，表示了个体所属的不同类别，像这样的变量我们称为分类变量。在现实生活中分类变量是大量存在的例如性别、国籍、宗教信仰、是否吸烟、是否患肺癌等。

在日常生活中如上例一样，我们常常关心两个分类变量之间是否有关系，例如吸烟与患肺癌是否有关系？性别是否对喜欢数学课程有影响？等等。

二．学生活动

引例：为了调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）

不吸烟

吸烟

合计

不患肺癌

7775 2099 9874 患肺癌

42 49 91 合计

7817 2148 9965 像这样列出的两个分类变量的频数表，称为列联表，

一般地，假设两个分类变量X和Y，它们的取“值”分别只有两个“值”，其列联表也称为2×2列联表。

注意：抽样时要尽可能地控制调查对象在其他方面尽可能一致（如年龄，生活和工作环境），才能根据调查数据有效地分析患肺癌与吸烟的相关性。

在不吸烟样本中患肺癌的比重是0.54%，

在吸烟样本中患肺癌的比重是2.28%. 因此，直观上可以得到结论：吸烟群体和不吸烟群体患肺癌的可能性存在差异，吸烟患肺癌的可能性大。

10.90.80.70.60.50.40.30.20.10

患肺癌

不患肺癌

比例

与表格相比，图形更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征

三．建构数学

1．独立性检验：

（1）假设H0：患病与吸烟没有关系．

若将表中“观测值”用字母表示，则得下表：

患病

未患病

合计

a

ab

b

吸烟

c

d

cd

不吸烟

ac

bd

abcd

合计

（近似的判断方法：设nabcd，如果H0成立，则在吸烟的人中患病的比例与

不吸烟的人中患病的比例应差不多，由此可得ac，即abcd

不吸烟

不吸烟

吸烟

吸烟a(cd)c(ab)adbc，0因此，|adbc|越小，患病与吸烟之间的关系越弱，否则，关系越强．）

设nabcd，

在假设H0成立的条件下，可以通过求

“吸烟且患病”、“吸烟但未患病”、“不吸烟但患病”、“不吸烟且未患病”的概率（观测频率），将各种人群的估计人数用a,b,c,d,n表示出来．

例如：“吸烟且患病”的估计人数为nP(AB)nabac；

nnabbd“吸烟但未患病”

的估计人数为nP(AB)n；

nncdac“不吸烟但患病”的估计人数为nP(AB)n；

nn

cdbd．

nn如果实际观测值与假设求得的估计值相差不大，就可以认为所给数据（观“不吸烟且未患病”的估计人数为nP(AB)n测值）不能否定假设H0．否则，应认为假设H0不能接受，即可作出与假设H0相反的结论．

（2）卡方统计量：

为了消除样本对上式的影响，通常用卡方统计量（χ来进行估计．

卡方χ2统计量公式：

abacabbdanbnnnnn2χ

abacabbdnnnnnncdaccdbdcndnnnnn

cdaccdbdnnnnnnnadbc（其中nabcd）

abcdacbd22(观测值预期值)2预期值）2222由此若H0成立，即患病与吸烟没有关系，则χ2的值应该很小．把a37,b183,c21,d274代入计算得χ211.8634，统计学中有明确的结论，在H0成立的情况下，随机事件“26.635”

发生的概率约为0.01，即P(26.635)0.01，也就是说，在H0成立的情况下，对统计量χ2进行多次观测，观测值超过6.635的频率约为0.01．由此，我们有99%的把握认为H0不成立，即有99%的把握认为“患病与吸烟有关系”．

象以上这种用2统计量研究吸烟与患呼吸道疾病是否有关等问题的方法称为独立性检验．

说明：

（1）估计吸烟者与不吸烟者患病的可能性差异是用频率估计概率，利用χ2进行独立性检验，可以对推断的正确性的概率作出估计，观测数据a,b,c,d取

值越大，效果越好．在实际应用中，当a,b,c,d均不小于5，近似的效果才可接受．

（2）这里所说的“呼吸道疾病与吸烟有关系”是一种统计关系，这种关系是指“抽烟的人患呼吸道疾病的可能性（风险）更大”，而不是说“抽烟的人一定患呼吸道疾病”．

（3）在假设H0下统计量χ2应该很小，如果由观测数据计算得到χ2的观测值很大，则在一定程度上说明假设不合理（即统计量χ2越大，“两个分类变量有关系”的可能性就越大）．

2．独立性检验的一般步骤：

一般地，对于两个研究对象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有两类取值：类A和类B（如吸烟与不吸烟），Ⅱ也有两类取值：类1和类2（如患呼吸道疾病与不患呼吸道疾病），得到如下表所示：

Ⅱ

类1

类2

合计

a

ab

b

类A

Ⅰ

c

d

cd

类B

ac

bd

abcd

合计

推断“Ⅰ和Ⅱ有关系”的步骤为：

第一步，提出假设H0：两个分类变量Ⅰ和Ⅱ没有关系；

第二步，根据2×2列联表和公式计算χ2统计量；

第三步，查对课本中临界值表，作出判断．

3．独立性检验与反证法：

反证法原理：在一个已知假设下，如果推出一个矛盾，就证明了这个假设不成立；

独立性检验（假设检验）原理：在一个已知假设下，如果一个与该假设矛盾的小概率事件发生，就推断这个假设不成立．

四．数学运用

1．例题：

例1．在500人身上试验某种血清预防感冒的作用，把他们一年中的感冒记录与另外500名未用血清的人的感冒记录作比较，结果如表所示．问：该种血清能否起到预防感冒的作用？

未感冒

感冒

合计

使用血清

258 242 500 未使用血216 284 500 清

合计

474 526 1000 24248.4%的人患过感冒；在没有使用分析：在使用该种血清的人中，有50028456.8%的人患过感冒，使用过血清的人与没有使该种血清的人中，有500用过血清的人的患病率相差较大．从直观上来看，使用过血清的人与没有使

用过血清的人的患感冒的可能性存在差异．

解：提出假设H0：感冒与是否使用该种血清没有关系．由列联表中的数据，求得

1000(258284242216)27.075

4745265005002∵当H0成立时，26.635的概率约为0.01，∴我们有99%的把握认为：该种血清能起到预防感冒的作用．

例2．为研究不同的给药方式（口服或注射）和药的效果（有效与无效）是否有关，进行了相应的抽样调查，调查结果如表所示．根据所选择的193个病人的数据，能否作出药的效果与给药方式有关的结论？

有效

无效

合计

口服

58 40 98 注射

64 31 95 合计

122 71 193 586467%分析：在口服的病人中，有59%的人有效；在注射的病人中，有9895的人有效．从直观上来看，口服与注射的病人的用药效果的有效率有一定的差异，能否认为用药效果与用药方式一定有关呢？下面用独立性检验的方法加以说明．

解：提出假设H0：药的效果与给药方式没有关系．由列联表中的数据，求得

193(58314064)21.38962.072

1227198952当H0成立时，21.3896的概率大于15%，这个概率比较大，所以根据目前的调查数据，不能否定假设H0，即不能作出药的效果与给药方式有关的结论．

说明：如果观测值22.706，那么就认为没有充分的证据显示“Ⅰ与Ⅱ有关系”，但也不能作出结论“H0成立”，即Ⅰ与Ⅱ没有关系．

教学反思：