3.1.2 复数的几何意义优秀公开课教案

3．1.2

复数的几何意义

【学习目标】

1．理解复平面、实轴、虚轴等概念．

2．了解复数的几何意义．

3．理解复数的概念，会求复数的模．

【重点难点】

重点：难点：理解复数的概念，会求复数的模

【学情分析】

自主学习内容

一、回顾旧知：

1．复数的分类

(1)复数的分类

2．复数相等的充要条件

a＝c，设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔1．复数的概念

 .

二、基础知识感知

阅读教材第52—53页内容，然后回答问题

1．复平面的定义

[来源学科网ZXXK]

建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做

表示

；除了

外，虚轴上的点都表示

，x轴叫做

，y轴叫做 ．

，实轴上的点都2．复数的几何意义

(1)复数a＋bi(a，b∈R)一一对应复平面内的点Z(a，b)．

→(2)复数a＋bi(a，b∈R)一一对应平面向量OZ. 3．复数的模

→→若z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为OZ，则OZ的模叫做复数z的模，记作|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2.[来源学科网]

三、探究问题[来源:Zxxk.Com]

1.复数与点、向量间的关系

每一个复数都由它的实部和虚部唯一确定．当实部和虚部作为一个有序数对时，就和点的坐标一样，从而可以用点表示复数．复平面内每一个点都可以与从原点出发的一个向量一一对应，从而复数也可以与复平面内的向量一一对应．这种对应可用图表示为：

2．复数的模

事实上，复数z的模，可类比实数a的绝对值，即|a|的几何意义是表示实数a的点与原点O间→的距离，那么在复数集中，类似地有|z|是表示复数z的点Z到原点的距离，也就是向量OZ的长度，→即|z|＝|OZ|. 3．应注意的问题

(1)复数a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi)．

(2)复平面内y轴上的单位长度是1，而不是i. (3)实数都在x轴上，其坐标为(a,0)(a∈R)，纯虚数bi(b∈R且b≠0)都在y轴上，其坐标为(0，b)．

→(4)复数a＋bi(a，b∈R)对应的向量OZ是从原点出发的向量，否则就谈不上一一对应，因为复平面上→与向量OZ相等的向量有无穷多个．

(5)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的z书写时应小写，对应的点Z(a，b)中的Z书写时应大写.

小组讨论问题预设

题型一、复数的几何意义

例1、

在复平面上，实数a分别取什么值时，复数z＝(a2＋a－6)＋(a2－2a－15)i表示的点，(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上．

提问展示问题预设:

变式1、（1）

复数z＝3＋i2对应的点在复平面的(

) A．第一象限

B．实轴上

C．虚轴上

D．第四象限

(2)(2016·全国卷Ⅱ)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(

)

A．(－3,1)

C．(1，＋∞)

课堂训练问题预设: 题型2、复数的模

1例2、

求复数z1＝3＋4i，z2＝－－2i的模，并比较它们的模的大小．

2 B．(－1,3) D．(－∞，－3)

【名师点拨】

→→→复数a＋bi(a，b∈R)的模即向量OZ的模，又OZ＝(a，b)，所以|z|＝|OZ|＝a2＋b2≥0.复数除去实数外不能比较大小，但复数的模可以比较大小．

变式2(1)已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，则下列各式正确的是(

) A．z1>z2

C．|z1|>|z2|

B．z1

)

A．(1，3)

C．(1,3)

题型三、复数的模的几何意义

例3、设z∈C，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？(1)|z|＝3；

(2)|z|≤2.

B．(1，5) D．(1,5) [来源学#科#网Z#X#X#K]

[来源:学&科&网]

变式3、已知复数z＝x－2＋yi(x，y∈R)的模为，求点(x，y)的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？

整理内化：

1、

课堂小结

2、

本节课学习内容中的问题和疑难